18自治医科大学 2019年 数学 第18問解答・解説

接点の $x$ 座標を $t$ とする。$f(x)=x^3-6x^2$ とおけば、接点における接線は $$y=f'(t)(x-t)+f(t),\qquad f'(t)=3t^2-12t$$ である。この接線が $A(4,k)$ を通る条件は $$k=f(t)+(4-t)f'(t) =t^3-6t^2+(4-t)(3t^2-12t) =-2t^3+18t^2-48t=:g(t)$$ となることである。 $$g'(t)=-6(t-2)(t-4)$$ より、$g$ は $t<2$ で減少、$2<t<4$ で増加、$t>4$ で減少する。また $$g(2)=-40,\qquad g(4)=-32,$$ かつ $t\to-\infty$ で $g(t)\to+\infty$、$t\to+\infty$ で $g(t)\to-\infty$ である。したがって $g(t)=k$ が異なる3実根をもつのは $$-40<k<-32$$ のときに限る。端点では極値の点で重なるため接点は2つとなり、端点の外では接点は1つである。

異なる接点が同じ接線を与えないことも確かめる。接点 $t$ における接線の傾きと $y$ 切片はそれぞれ $$M(t)=3t^2-12t,\qquad B(t)=f(t)-tf'(t)=-2t^3+6t^2$$ である。もし $t\ne u$ で傾きが等しければ $t+u=4$ となる。$t=2+s,\ u=2-s$（$s\ne0$）とおくと $$B(t)=8-6s^2-2s^3,\qquad B(u)=8-6s^2+2s^3$$ であり、切片は異なる。よって接点の個数は接線の個数に一致する。

$k$ は整数なので、条件を満たす値は $-39,-38,-37,-36,-35,-34,-33$ の7個である。選択肢は **ヤ** である。