自治医科大学 2019年数学第13問解答・解説

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1問題

自治医科大学2019年度第13問

座標平面上の3つの定点，原点 $O(0,0),\ A(0,1),\ B(4,3)$ と任意の点 $P$ について考える。 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}}=4\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ が成立しているとき，点 $P$ の軌跡は異なる2つの点 $M(m,0),N(n,0)$ で $x$ 軸と交わる。 $|m+n|$ の値を求めよ。選択肢：ア $0$ ，カ $1$ ，サ $2$ ，タ $3$ ，ナ $4$ ，ハ $5$ ，マ $6$ ，ヤ $7$ ，ラ $8$ ，ワ $9$ 。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

ナ 4

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$P=(x,y)$ とおくと， $\overrightarrow{\mathrm{PA}}=(-x,1-y)$ ， $\overrightarrow{\mathrm{PB}}=(4-x,3-y)$ である。また $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(0,1)$ ， $\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(4,3)$ より $4\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=12$ 。したがって条件は $(-x)(4-x)+(1-y)(3-y)=12,$ すなわち $x^2+y^2-4x-4y-9=0$ となる。平方完成すると $(x-2)^2+(y-2)^2=17$ であり，点 $P$ の軌跡は中心 $(2,2)$ ，半径 $\sqrt{17}$ の円である。

$x$ 軸との交点では $y=0$ だから， $(x-2)^2+4=17$ ，すなわち $x=2\pm\sqrt{13}$ 。この2解は異なるので $m=2-\sqrt{13},\ n=2+\sqrt{13}$ とおける。よって $|m+n|=|4|=4$ であり，選択肢はナである。

この問題で使う考え方

円の方程式
ベクトルの内積

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