17自治医科大学 2019年 数学 第17問解答・解説

$$f(x)=e^{ax}\sin bx$$ を微分すると $$f'(x)=e^{ax}(a\sin bx+b\cos bx),$$ $$f''(x)=e^{ax}\{(a^2-b^2)\sin bx+2ab\cos bx\}.$$ したがって、与式の左辺は $$e^{ax}\{(a^2-b^2-2a+2)\sin bx+2b(a-1)\cos bx\}$$ となる。これがすべての $x$ で $0$ である。$e^{ax}\ne0$ なので、まず $x=0$ を代入すると $2b(a-1)=0$ を得る。$b\ne0$ より $a=1$ である。また $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{2b}$ を代入すると $a^2-b^2-2a+2=0$ を得る。ここに $a=1$ を代入して $1-b^2=0$、よって $b^2=1$ である。 $$a^2+b^2=1+1=2.$$ 選択肢は **サ** である。