4京都大学 2021年 数学 第4問解答・解説

日本の高校数学での通常の表記に従い、$\log$ を自然対数とする。曲線の弧長は $$\displaystyle L=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1+\left(y'\right)^2}\,dx$$ で与えられる。微分すると $$\displaystyle y'=\frac{-\sin x}{1+\cos x}=-\tan\frac{x}{2}$$ となる。ここで $0\le x/2\le\pi/4$ なので $\sec(x/2)>0$ であり、 $$\displaystyle \sqrt{1+\left(y'\right)^2} =\sqrt{1+\tan^2\frac{x}{2}} =\sec\frac{x}{2}.$$ 従って置換 $u=x/2$ を用いて $$\displaystyle \begin{aligned} L&=\int_0^{\pi/2}\sec\frac{x}{2}\,dx =2\int_0^{\pi/4}\sec u\,du\\ &=2\left[\log(\sec u+\tan u)\right]_0^{\pi/4} =2\log(\sqrt2+1). \end{aligned}$$ なお、原始関数は $\displaystyle \frac{d}{du}\log(\sec u+\tan u)=\sec u$ から確認できる。