2京都大学 2021年 数学 第2問解答・解説

曲線 $\displaystyle y=\frac12(x^2+1)$ 上の点 $P$ の $x$ 座標を $t$ とする。すると $$\displaystyle P=\left(t,\frac{t^2+1}{2}\right)\qquad(t\text{ は実数}).$$ $t=0$ のとき接線は $\displaystyle y=\frac12$ であり，$x$ 軸と交わらない。したがって $t\ne0$ である。接線の傾きは $t$ だから，接線と $x$ 軸との交点は $$\displaystyle y-\frac{t^2+1}{2}=t(x-t),\qquad Q=\left(\frac{t^2-1}{2t},0\right)$$ と表せる。よって $$\displaystyle \begin{aligned} L^2&=\left(\frac{t^2-1}{2t}-t\right)^2+\left(\frac{t^2+1}{2}\right)^2\\ &=\frac{(t^2+1)^3}{4t^2}. \end{aligned}$$ ここで $u=t^2$ とおくと，条件 $t\ne0$ より $u>0$ であり $$\displaystyle L^2=h(u)=\frac{(u+1)^3}{4u},\qquad h'(u)=\frac{(u+1)^2(2u-1)}{4u^2}.$$ したがって $\displaystyle 0<u<\frac12$ では $h'(u)<0$，$\displaystyle u>\frac12$ では $h'(u)>0$ である。よって $h$ は $\displaystyle u=\frac12$ で最小となる。距離は正なので，$L$ もそこで最小となり $$\displaystyle L_{\min}=\sqrt{h\left(\frac12\right)}=\sqrt{\frac{27}{16}}=\boxed{\frac{3\sqrt3}{4}}.$$