3京都大学 2021年 数学 第3問解答・解説

各項の絶対値は $$\displaystyle \left|\left(\frac12\right)^n\cos\frac{n\pi}{6}\right|\leq \left(\frac12\right)^n$$ であり、右辺の無限等比級数は収束する。したがって、もとの級数は絶対収束する。

$\cos(n\pi/6)$ は $n$ を12増やすと同じ値に戻るので、12項ずつの和を $B$ とおけば、求める和は比 $2^{-12}=1/4096$ の無限等比級数となり、$S=B/(1-1/4096)$ である。

$n=0,1,\ldots,11$ に対して余弦の値は順に $$\displaystyle 1,\ \frac{\sqrt3}{2},\ \frac12,\ 0,\ -\frac12,\ -\frac{\sqrt3}{2},\ -1,\ -\frac{\sqrt3}{2},\ -\frac12,\ 0,\ \frac12,\ \frac{\sqrt3}{2}$$ である。よって $$\displaystyle \begin{aligned} B&=1+\frac{\sqrt3}{4}+\frac18-\frac1{32}-\frac{\sqrt3}{64}-\frac1{64}-\frac{\sqrt3}{256}-\frac1{512}+\frac1{2048}+\frac{\sqrt3}{4096}\\ &=\frac{2205}{2048}+\frac{945\sqrt3}{4096} =\frac{4410+945\sqrt3}{4096}. \end{aligned}$$ したがって $$\displaystyle S=\frac{B}{1-1/4096} =\frac{4410+945\sqrt3}{4095} =\boxed{\frac{14+3\sqrt3}{13}}.$$ 最後の約分では分子・分母を $315$ で割った。