4熊本大学 2021年 数学 第4問解答・解説

(問1) $t=nx$ と置くと、$dx=dt/n$ である。$g(t)=|\sin t-\sin2t|$ は $2\pi$ 周期だから $$\displaystyle \int_0^{2\pi}|\sin nx-\sin2nx|\,dx =\frac1n\int_0^{2\pi n}g(t)\,dt =\int_0^{2\pi}g(t)\,dt.$$ また $g(2\pi-t)=g(t)$。$0\le t\le\pi$ では $$g(t)=\sin t\,|1-2\cos t|,$$ 符号が変わるのは $t=\pi/3$ である。従って $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^{2\pi}g(t)\,dt &=2\left(\int_0^{\pi/3}\sin t(2\cos t-1)\,dt +\int_{\pi/3}^{\pi}\sin t(1-2\cos t)\,dt\right)\\ &=2\left([\sin^2t+\cos t]_0^{\pi/3} +[-\cos t+\cos^2t]_{\pi/3}^{\pi}\right)\\ &=2\left(\frac14+\frac94\right)=5. \end{aligned}$$

(問2) 同じ $t=nx$ と $g(t)$ を用いると $$\displaystyle \int_0^c|\sin nx-\sin2nx|\,dx=\frac1n\int_0^{nc}g(t)\,dt.$$ $$\displaystyle k_n=\left\lfloor\frac{nc}{2\pi}\right\rfloor,\qquad r_n=nc-2\pi k_n$$ と置けば $0\le r_n<2\pi$ であり、周期性と(問1)から $$\displaystyle \int_0^{nc}g(t)\,dt=5k_n+\int_0^{r_n}g(t)\,dt.$$ $0\le g(t)\le2$ より $\displaystyle 0\le\int_0^{r_n}g(t)\,dt\le4\pi$。さらに $$\displaystyle \frac{k_n}{n}=\frac{c}{2\pi}-\frac{r_n}{2\pi n}\longrightarrow\frac{c}{2\pi}, \qquad 0\le\frac1n\int_0^{r_n}g(t)\,dt\le\frac{4\pi}{n}\longrightarrow0.$$ よって極限は $\displaystyle \frac{5c}{2\pi}$ である。