III愛知医科大学 2022年 数学 第III問解答・解説

$e^{-x}>0$ だから，曲線 $y=e^{-x}\cos x$ と $x$ 軸との交点は $\cos x=0$ となる点である。したがって，原点に近い順に $$\displaystyle x_k=\left(k-\frac12\right)\pi\quad(k=1,2,\ldots)$$ である。

1) 部分積分を2回行う。$\displaystyle J=\int e^{-x}\sin x\,dx$ とおくと， $$\displaystyle \begin{aligned} \int e^{-x}\cos x\,dx&=-e^{-x}\cos x-J,\\ J&=-e^{-x}\sin x+\int e^{-x}\cos x\,dx. \end{aligned}$$ よって両式から $$\displaystyle \int e^{-x}\cos x\,dx=\frac12e^{-x}(\sin x-\cos x)+C.$$

2) 上の原始関数を $\displaystyle F(x)=\frac12e^{-x}(\sin x-\cos x)$ とおく。定積分の加法性から $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}I_k=\int_{0}^{x_n}e^{-x}\cos x\,dx=F(x_n)-F(0).$$ $\displaystyle x_n=(n-\frac12)\pi$ では $\cos x_n=0$，$\sin x_n=(-1)^{n-1}$ である。また $\displaystyle F(0)=-\frac12$ だから $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}I_k=\frac12(-1)^{n-1}e^{-(n-\frac12)\pi}+\frac12.$$ 指数部分は $n\to\infty$ で0に収束するので，求める極限は $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\sum\limits _{k=1}^{n}I_k=\frac12.$$