II愛知医科大学 2022年 数学 第II問解答・解説

円の方程式は $$(x-a)^2+(y-b)^2=a^2+b^2$$ と変形できる。そこで $$F(x,y)=x^2+y^2-2ax-2by$$ とおくと，$F(x,y)<0$ は円の内部，$F(x,y)>0$ は円の外部，$F(x,y)=0$ は円周上を表す。

1) 点 $A(0,2),B(2,2)$ について $$F(A)=4(1-b),\qquad F(B)=4(2-a-b).$$ 両点が内部と外部に分かれるのは，これらが異符号のとき，すなわち $$(1-b)(2-a-b)<0$$ のときである。これは $$(b>1\text{ かつ }a+b<2)\quad\text{または}\quad(b<1\text{ かつ }a+b>2)$$ と同じ範囲である。図では，直線 $b=1$ と $a+b=2$ の交点 $(1,1)$ を基準に，$a<1$ では $1<b<2-a$ の部分，$a>1$ では $2-a<b<1$ の部分を塗る。二直線は含まない。

図の着色部分が求める領域であり、破線の境界は含まない。着色部分は図の外へも続く。

2) 線分 $AB$ 上の点を $T=(t,2)\ (0\leq t\leq2)$ とおく。両端が円の外部にある条件は $$F(A)>0,\quad F(B)>0, \quad\text{すなわち}\quad b<1,\quad a+b<2.$$ また $$F(T)=t^2+4-2at-4b=(t-a)^2+4-a^2-4b.$$ 両端で $F(T)>0$ のもとで，端点以外の線分上に円との共有点があるためには，$F(T)=0$ となる $0<t<2$ が必要である。もし $a\leq0$ なら $F(T)$ は $0\leq t\leq2$ で増加し，$F(A)>0$ より内部に零点はない。また，$a\geq2$ なら $F(T)$ は減少し，$F(B)>0$ より内部に零点はない。したがって $0<a<2$ が必要である。

このとき二次式 $F(T)$ は頂点 $t=a$ で最小となる。よって線分の両端で正であることを保ったまま，内部に零点をもつ条件は $$\displaystyle F(a)=4-a^2-4b\leq0, \quad\text{すなわち}\quad b\geq1-\frac{a^2}{4}.$$ 等号のときは $t=a$ で接し，厳密な不等号のときは頂点で負となるので連続性から線分内部に交点をもつ。さらに $0<a<2$ では $$\displaystyle 1-\frac{a^2}{4}<1,\qquad 1-\frac{a^2}{4}<2-a$$ であるため，上記の下限と両端が外部である条件を合わせると求める範囲は $$\displaystyle 0<a<2,\qquad 1-\frac{a^2}{4}\leq b<\min(1,2-a).$$ すなわち，$0<a\leq1$ では $\displaystyle 1-\frac{a^2}{4}\leq b<1$，$1<a<2$ では $\displaystyle 1-\frac{a^2}{4}\leq b<2-a$ である。図では下側の放物線 $\displaystyle b=1-\frac{a^2}{4}$ は含み，上側の直線境界 $b=1$ または $a+b=2$ と端 $a=0,2$ は含まない。

図の着色部分が求める領域である。下側の実線は含み、上側の破線および白丸の点は含まない。