5京都大学 2021年 数学 第5問解答・解説

(1) 外心 $BC$ の垂直二等分線は $y$ 軸なので、外心を $O=(0,t)$ とおく。外接円の半径 $R$ は正弦定理から $$\displaystyle |BC|=2R\sin\frac\pi3 \quad\text{より}\quad 2\sqrt3=\sqrt3R, \quad R=2.$$ 一方 $$R^2=OB^2=3+(t+1)^2=4$$ なので $t=0$ または $t=-2$。中心 $(0,-2)$、半径2の円は $y\le0$ の範囲にあり、$y_A>0$ の点 $A$ を通れない。従って外心は $$\boxed{O=(0,0)}.$$ この円上で $y_A>0$ だから、$A$ は円 $x_A^2+y_A^2=4$ の上半円（端点は除く）を動く。逆に、その上半円上の点から弦 $BC$ を見る角は、$A$ を含まない弧 $BC$ が中心角 $2\pi/3$ であることから $\pi/3$ となるので、条件を満たす全ての $A$ が得られる。

(2) 垂心の軌跡 $A=(u,v)$ とおくと $u^2+v^2=4$ かつ $v>0$。$BC$ は水平だから、$A$ からの高さは鉛直線 $x=u$ 上にあり、垂心 $H$ の $x$ 座標は $u$ である。そこで $H=(u,v-2)$ とおく。これは $A$ からの高さ上にある。さらに $$\begin{aligned} (H-B)\cdot(C-A) &=(u+\sqrt3)(\sqrt3-u)+(v-1)(-1-v)\\ &=(3-u^2)+(1-v^2)=4-(u^2+v^2)=0, \end{aligned}$$ よって $BH\perp AC$ でもあり、$H$ は垂心である。従って $$x_H=u,\qquad y_H=v-2,$$ なので $$x_H^2+(y_H+2)^2=u^2+v^2=4, \qquad y_H>-2.$$ 逆にこの円上の各点で $y_H>-2$ なら $v=y_H+2>0$ となり条件を満たす $A$ に対応する。ゆえに垂心の軌跡は、中心 $(0,-2)$、半径2の円周のうち $y>-2$ の部分、すなわち端点 $(\pm2,-2)$ を除く上半円弧である。 $$\boxed{x^2+(y+2)^2=4,\qquad y>-2}.$$

【表示上の注記】補助図はこのローカルプレビューでは未表示です。元の図データ・参照は保持しています。座標・範囲・計算・証明は採用稿の本文に記載されています。