19自治医科大学 2019年 数学 第19問解答・解説

線分 $OP$ の式は $y=t^2x$ である。$0\le x\le t$ ではこの線分が曲線 $y=x^3$ の上にあるから $$\displaystyle S_1=\int_0^t(t^2x-x^3)\,dx=\frac{t^4}{4}.$$ 線分 $PA$ の傾きは $1+t+t^2$ であり、その式は $$y=(1+t+t^2)x-t-t^2$$ である。曲線との差は $$(1+t+t^2)x-t-t^2-x^3=(x-t)(1-x)(x+t+1)$$ となる。$x=t+(1-t)u$ とおくと $$\displaystyle \begin{aligned} S_2&=\int_t^1(x-t)(1-x)(x+t+1)\,dx\\ &=(1-t)^3\int_0^1u(1-u)\{2t+1+(1-t)u\}\,du\\ &=(1-t)^3\left(\frac{2t+1}{6}+\frac{1-t}{12}\right) =\frac{(1+t)(1-t)^3}{4}. \end{aligned}$$ したがって $$\displaystyle F(t):=S_1+S_2=\frac{t^4+(1+t)(1-t)^3}{4}=\frac{1-2t+2t^3}{4}.$$ $$\displaystyle F'(t)=\frac{3t^2-1}{2}$$ は $0<t<1/\sqrt3$ で負、$1/\sqrt3<t<1$ で正である。よって $F$ は $t=1/\sqrt3$ で最小となり、問題の $k$ は $k=1/\sqrt3$ である。したがって $$\displaystyle 9k^2=9\cdot\frac13=3.$$ 選択肢は **タ** である。