20自治医科大学 2019年 数学 第20問解答・解説

各 $x$ において、回転する線分は直線 $y=k$ から曲線までの線分である。これを直線 $y=k$ の周りに回転すると半径 $|x+2\cos x-k|$ の円盤となるので $$\displaystyle V(k)=\pi\int_0^{2\pi}(x+2\cos x-k)^2\,dx.$$ $f(x)=x+2\cos x$、$\displaystyle I=\int_0^{2\pi}f(x)\,dx$ とおくと、平方完成により $$\displaystyle \int_0^{2\pi}(f(x)-k)^2\,dx =\int_0^{2\pi}f(x)^2\,dx-\frac{I^2}{2\pi} +2\pi\left(k-\frac{I}{2\pi}\right)^2.$$ したがって $V(k)$ は $k=I/(2\pi)$ のとき最小となる。ここで $$\displaystyle I=\int_0^{2\pi}(x+2\cos x)\,dx =\left[\frac{x^2}{2}+2\sin x\right]_0^{2\pi}=2\pi^2$$ だから、体積が最小となる $k$ の値は $m=I/(2\pi)=\pi$ である。$3<\pi<4$ より $a=3$。選択肢は タ である。