自治医科大学 2019年数学第6問解答・解説

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1問題

自治医科大学2019年度第6問

3次方程式 $x^{3}+ax^{2}+bx-8=0$ が $1,2$ を解にもつとき，もう1つの解を $c$ とする。 $|b+a-c|$ の値を求めよ。（ $a,b$ は実数）選択肢：ア $0$ ，カ $1$ ，サ $2$ ，タ $3$ ，ナ $4$ ，ハ $5$ ，マ $6$ ，ヤ $7$ ，ラ $8$ ，ワ $9$ 。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

解と係数の関係から3つの根と係数を順に求め、最後に与式を展開して確認する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\left|b+a-c\right|=3\quad($ タ)

4解答

解答を見る途中式つきの解答

3次方程式の3つの解を $1,2,c$ とする。解と係数の関係より、解の積について $1\cdot2\cdot c=8$ であるから、 $c=4$ である。また、解の和と2つずつの積の和より $1+2+4=-a,\qquad 1\cdot2+2\cdot4+4\cdot1=b$ となる。したがって $a=-7,\ b=14$ であり、 $\left|b+a-c\right|=\left|14-7-4\right|=3.$ 実際、これらを用いた方程式は $(x-1)(x-2)(x-4)=x^3-7x^2+14x-8$ となり、与えられた定数項とも一致する。よって答えは $3$ （タ）である。

この問題で使う考え方

解と係数の関係

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