東邦大学 2019年数学第6問解答・解説

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1問題

東邦大学2019年度第6問

2つの実数 $x,y$ は、方程式 $2x^2+3xy+2y^2-14x-14y+21=0$ を満たす。このとき、 $x+y$ のとり得る値の範囲は $\boxed{\text{セ}}\leq x+y\leq\boxed{\text{ソ}}$ である。また、 $(x+1)(y+1)$ のとり得る値の範囲は $\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}\leq(x+1)(y+1)\leq\boxed{\text{ツテ}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

和と積で与式を整理し、判別式から和の区間を特定した後、積の変形式を平方完成して極値を求める。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

セ $=2,\quad$ ソ $=6,\quad$ タ $=7,\quad$ チ $=8,\quad$ ツテ $=16$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$s=x+y,\ p=xy$ とおく。与式の左辺は $2(x^2+y^2)+3xy-14s+21$ であり、 $x^2+y^2=s^2-2p$ を用いると $2s^2-p-14s+21=0,$ したがって $p=2s^2-14s+21$ である。 $x,y$ は二次方程式 $t^2-st+p=0$ の実数解だから、その判別式は $\Delta=s^2-4p=-7(s-4)^2+28\geq 0.$ よって $2\leq s\leq 6$ である。逆にこの区間の各 $s$ について判別式が非負なので、和が $s$ 、積が上の $p$ となる実数 $x,y$ が存在する。したがってこの範囲は実際にとり得る。

また $\displaystyle (x+1)(y+1)=p+s+1=2s^2-13s+22=2\left(s-\frac{13}{4}\right)^2+\frac78.$ したがって最小値は $s=13/4$ のときの $7/8$ である。係数が正の二次関数なので最大値は区間の端でとり、 $s=2$ では $4$ 、 $s=6$ では $16$ となる。よって $\displaystyle 2\leq x+y\leq 6,\qquad \frac78\leq (x+1)(y+1)\leq 16.$

この問題で使う考え方

二次関数の最大・最小
二次方程式の判別式
解と係数の関係

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