東邦大学 2019年数学第4問解答・解説

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1問題

東邦大学2019年度第4問

$\triangle ABC$ において、 $AB=4,\ BC=6,\ CA=5$ とする。また、頂点 $A$ から辺 $BC$ へ垂線 $AH$ を下ろし、 $AH$ の延長が $\triangle ABC$ の外接円と交わる点を $D$ とする。このとき、 $\displaystyle \frac{BH}{CH}=\frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}$ であり、 $\displaystyle \frac{AH}{DH}=\frac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オカ}}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

垂線でできる直角三角形に三平方の定理を適用する。交点Hについて方べきの定理を適用し、必要な辺の比を計算する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \frac{BH}{CH}=\frac35,\qquad \frac{AH}{DH}=\frac{35}{27}$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

BH=x とおくと、CH=6-x である。直角三角形 ABH、ACH に三平方の定理を用いると、 $AH^2+x^2=16,\qquad AH^2+(6-x)^2=25.$ 差をとって $(6-x)^2-x^2=9,\qquad 36-12x=9$ より $x=9/4$ である。したがって $\displaystyle BH=\frac94,\qquad CH=6-\frac94=\frac{15}{4},\qquad \frac{BH}{CH}=\frac35.$ また $\displaystyle AH^2=16-\left(\frac94\right)^2=\frac{175}{16}, \qquad AH=\frac{5\sqrt7}{4}.$

H は弦 AD と弦 BC の交点なので、方べきの定理から $\displaystyle HA\cdot HD=HB\cdot HC =\frac94\cdot\frac{15}{4}=\frac{135}{16}.$ ゆえに $\displaystyle HD=\frac{135/16}{5\sqrt7/4} =\frac{27}{4\sqrt7}.$ したがって $\displaystyle \frac{AH}{DH} =\frac{5\sqrt7/4}{27/(4\sqrt7)} =\frac{35}{27}.$ よって、ア=3、イ=5、ウ=3、エ=5、オ=2、カ=7 である。

この問題で使う考え方

方べきの定理
三角形の性質

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