1東邦大学 2019年 数学 第1問解答・解説

分子を共役な式で有理化する。根号の中は $x=0$ の近くで正であり、次の変形ができる。 $$\displaystyle \begin{aligned} f(x) &=\frac{(ax-1)^2-\{x^2+(a+2)x+1\}} {x^2\{ax-1-\sqrt{x^2+(a+2)x+1}\}}\\ &=\frac{(a^2-1)x^2-(3a+2)x} {x^2\{ax-1-\sqrt{x^2+(a+2)x+1}\}}\\ &=\frac{(a^2-1)-(3a+2)/x} {ax-1-\sqrt{x^2+(a+2)x+1}}. \end{aligned}$$ 分母は$x\to0$で$-2$に近づく。有限な極限が存在するためには、分子の$1/x$の項が消える必要があるので、 $$\displaystyle 3a+2=0,\qquad a=-\frac23.$$ このとき $$\displaystyle \lim\limits _{x\to0}f(x)=\frac{a^2-1}{-2} =\frac{4/9-1}{-2}=\frac5{18}.$$ したがって、指定された欄は ア=−、イ=2、ウ=3、エ=5、オ=1、カ=8 である。