東邦大学 2019年数学第9問解答・解説

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1問題

東邦大学2019年度第9問

1辺の長さが1の正四面体 $ABCD$ がある。辺 $AB$ の中点と辺 $CD$ の中点とを結ぶ線分の長さは $\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{サ}}}}{\boxed{\text{シ}}}$ である。また、3点 $A,B,C$ を頂点とする三角形を直線 $CD$ のまわりに1回転したとき、三角形 $ABC$ が通過する部分の体積は $\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セソ}}}\pi$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

正四面体を回転軸に沿う座標で表し、中点間距離を計算した後、軸に垂直な断面の円環を積分する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

サ $=2,\quad$ シ $=2,\quad$ ス $=1,\quad$ セソ $=24$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$CD$ を $z$ 軸とし、 $C=(0,0,0), D=(0,0,1)$ とおく。 $AC=AD=BC=BD=1$ なので $A,B$ は平面 $z=1/2$ 上にある。また $AB=1$ であるから、座標軸を適切に選べば $\displaystyle A=\left(\frac1{\sqrt2},\frac12,\frac12\right),\qquad B=\left(\frac1{\sqrt2},-\frac12,\frac12\right)$ とできる。したがって辺 $AB$ の中点は $(1/\sqrt2,0,1/2)$ 、辺 $CD$ の中点は $(0,0,1/2)$ であり、両者の距離は $1/\sqrt2=\sqrt2/2$ である。

三角形 $ABC$ を高さ $z=t\ (0\leq t\leq1/2)$ で切ると、辺 $CA,CB$ 上の端点はそれぞれ $(\sqrt2t,t,t),(\sqrt2t,-t,t)$ となる。これを $CD$ のまわりに回転すると、この高さの断面は内半径 $\sqrt2t$ 、外半径 $\sqrt3t$ の円環である。その面積を積分すれば $\displaystyle V=\int_0^{1/2}\pi\{(\sqrt3t)^2-(\sqrt2t)^2\}\,dt =\int_0^{1/2}\pi t^2\,dt=\frac{\pi}{24}.$

この問題で使う考え方

空間図形の計量
定積分による体積

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