8東邦大学 2019年 数学 第8問解答・解説

$f(x)=x^3+x^2+ax$ のグラフが $(h,0)$ に関して点対称であるための条件は、すべての実数 $t$ に対し $f(h+t)+f(h-t)=0$ となることである。展開すると $$f(h+t)+f(h-t)=2f(h)+2(3h+1)t^2.$$ よって $3h+1=0$、かつ $f(h)=0$。前者から $h=-1/3$ であり、 $$\displaystyle f(-1/3)=\frac{2}{27}-\frac a3=0$$ より $a=2/9$ を得る。

次に $g(x)=x^4+x^3+x^2+bx$ のグラフが直線 $x=h$ に関して対称であるための条件は、すべての実数 $t$ に対し $g(h+t)-g(h-t)=0$ となることである。差を展開すると $$g(h+t)-g(h-t)=2\left\{(4h+1)t^3+(4h^3+3h^2+2h+b)t\right\}.$$ したがって $4h+1=0$ と $4h^3+3h^2+2h+b=0$ が必要十分である。$h=-1/4$ を代入すると $-3/8+b=0$ だから $b=3/8$。