2九州大学 2019年 数学 第2問解答・解説

(1) $m=\deg f$, $n=\deg g$ とし、最高次係数をそれぞれ $A,B$ とする。どちらも零でない。第1の恒等式では、左辺の次数が $2m$、右辺の次数が $n+2$ である。実際、$(x^2+2)g(x)$ の最高次項の次数は $n+2\ge2$ なので、定数 $7$ によって消えない。よって $$2m=n+2,\qquad n=2m-2.$$ この恒等式の最高次係数を比べると $A=B$ である。

ここで $m\ge3$ と仮定する。第2の恒等式の左辺 $g(x^3)$ の次数は $$3n=6m-6.$$ 右辺の各項の次数は、$x^4f(x)$ が $m+4$、$-3x^2g(x)$ が $n+2=2m$、残りの項が高々2である。$m\ge3$ では $$6m-6>m+4,\qquad 6m-6>2m,\qquad 6m-6>2.$$ したがって右辺の次数は $6m-6$ より小さくなり、恒等式に矛盾する。よって $m\le2$。また $n=2m-2$ から $n\le2$ でもある。ゆえに $\deg f,\deg g$ はともに2以下。

(2) $n=2m-2\ge0$ より $m\ge1$。もし $m=1$ なら $n=0$ である。$g(x)=B$（$B\ne0$）、$f(x)=Ax+C$ とおくと、第1の恒等式の最高次係数比較で $A=B$。このとき第2の恒等式の左辺 $g(x^3)$ は定数だが、右辺の最高次項は $Ax^5$（$A\ne0$）であるため一致しない。したがって $m\ne1$。よって $m=2$、$n=2$。

最高次係数が等しいことを使い $$f(x)=Ax^2+Bx+C,\qquad g(x)=Ax^2+Dx+E$$ とおく。第1の恒等式の両辺を展開すると $$Ax^4+Bx^2+C =Ax^4+Dx^3+(E+2A)x^2+2Dx+(2E+7),$$ したがって $$D=0,\qquad B=E+2A,\qquad C=2E+7.$$ 第2の恒等式は、この関係を用いると $$Ax^6+E =Ax^6+Bx^5+(C-3A)x^4+(-3E-6)x^2-2.$$ 係数を比較して $$B=0,\qquad C-3A=0,\qquad -3E-6=0.$$ これらと $B=E+2A$, $C=2E+7$ から $E=-2$, $A=1$, $C=3$。よって $$f(x)=x^2+3,\qquad g(x)=x^2-2.$$ 実際、 $$f(x^2)=x^4+3=(x^2+2)(x^2-2)+7,$$ $$g(x^3)=x^6-2=x^4(x^2+3)-3x^2(x^2-2)-6x^2-2$$ となり、両恒等式を満たす。