2滋賀医科大学 2019年 数学 第2問解答・解説

問1。両辺は最高次係数が $1$ の多項式で、次数はそれぞれ $k$、$l$ である。全ての複素数 $z$ について等しいので次数が等しく、$k=l$。

$z=\alpha_1$ を代入すると左辺は $0$ だから、右辺の積も $0$ となる。よって、ある $j$ について $\alpha_1=\beta_j$。この $\beta_j$ を先頭に並べ替えると、両辺に共通因子 $z-\alpha_1$ がある。これを約して残りの積の恒等式を得る。同じ操作を繰り返すと、$\beta_1,\ldots,\beta_l$ は並べ替えによって $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ と一致する。

問2。$z^n=1$ の解を $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ と表すと、絶対値から $r^n=1$、したがって $r=1$。ド・モアブルの定理より $n\theta=2\pi q$ となる整数 $q$ がある。ここで $$\displaystyle \omega=\cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}$$ とおく。$q$ と $n$ を法として同じ剰余をもつ $1\le k\le n$ を満たす整数 $k$ を選べば、$z=\omega^k$。逆に各 $k=1,\ldots,n$ について $(\omega^k)^n=1$ である。また、$\omega^j=\omega^k$ なら $n\mid(j-k)$。$1\le j,k\le n$ から $|j-k|<n$ なので $j=k$ であり、列挙した解は相異なる。

問3。まず $m\mid n$ とし、$n=qm$ と書く。$z^m=1$ なら $z^n=(z^m)^q=1$ だから、任意の $m$ 乗根は $n$ 乗根である。

逆に、$z^m=1$ の任意の解が $z^n=1$ の解になると仮定する。$$\displaystyle \zeta=\cos\frac{2\pi}{m}+i\sin\frac{2\pi}{m}$$ とおくと $\zeta^m=1$ だから、仮定により $\zeta^n=1$。ド・モアブルの定理を使うと $$\displaystyle \cos\frac{2\pi n}{m}+i\sin\frac{2\pi n}{m}=1.$$ したがって $2\pi n/m=2\pi q$ となる整数 $q$ があり、$n/m=q$ は整数である。よって $m\mid n$。以上から必要十分条件が示された。

問1は多項式の次数を比べた後、根を代入して一致する因子を消去し帰納的に並べ替えを証明する。問2は極形式とド・モアブルの定理で解を列挙し、相異性を確認する。問3は指数の倍数性による十分性と、偏角2π/mの解を使った必要性を示す。