3滋賀医科大学 2019年 数学 第3問解答・解説

$\vec a=\overrightarrow{OA},\vec b=\overrightarrow{OB},\vec c=\overrightarrow{OC}$ とおくと、G,Hの位置ベクトルはそれぞれ $(\vec a+\vec b+\vec c)/3$, $(\vec a+\vec b)/3$。点 $$\displaystyle \vec p=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{4}=\frac34\overrightarrow{OG}=\vec c+\frac34(\overrightarrow{OH}-\vec c)$$ は直線OGとCHの両方にあるので交点Iである。従って $$\displaystyle \overrightarrow{OI}=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{4}.$$ (3) Iを原点とし、$\vec u=\overrightarrow{IO},\vec v=\overrightarrow{IA},\vec w=\overrightarrow{IB},\vec z=\overrightarrow{IC}$ とおく。Iの式から $\vec u+\vec v+\vec w+\vec z=0$、条件から各ベクトルの長さは等しい。$\vec u+\vec v=-(\vec w+\vec z)$ の両辺の長さを二乗すると $\vec u\cdot\vec v=\vec w\cdot\vec z$。よって $OA^2=|\vec v-\vec u|^2=|\vec z-\vec w|^2=BC^2$。同様に他の二組も等しく、$OA=BC, OB=CA, OC=AB$。 (4) 直交座標を $O=(0,0,0), A=(1,0,0), B=(1/2,\sqrt7/2,0)$ と取れる。辺長条件からCを $(1/2,v,w)$ と置くと、$OC^2=2$ より $v^2+w^2=7/4$、$BC^2=1$ より $(v-\sqrt7/2)^2+w^2=1$。差を取って $v=5/(2\sqrt7)$、従って $w^2=6/7$。Cの平面OABからの高さは $\sqrt{6/7}$。Iは4頂点の位置ベクトルの平均なので、この平面からの距離は高さの4分の1。接する球の半径は $$\displaystyle \frac14\sqrt{\frac67}=\frac{\sqrt{42}}{28}.$$

重心の位置ベクトルからOGとCHの交点を明示した。4頂点から等距離の条件はIを原点にして内積で辺長の対を比較する。最後は辺長で座標を定めて四面体の高さを計算し、Iの平面距離がその4分の1であることを使った。