大阪大学 2007年数学第3問解答・解説

図形と方程式ベクトル

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1問題

大阪大学2007年度第3問

$xy$ 平面において、原点 $O$ を通る半径 $r\ (r>0)$ の円を $C$ とし、その中心を $A$ とする。 $O$ を除く $C$ 上の点 $P$ に対し、次の2つの条件 (a)、(b) で定まる点 $Q$ を考える。

(a) $\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{OQ}$ の向きが同じ。

(b) $\left|\overrightarrow{OP}\right|\left|\overrightarrow{OQ}\right|=1$ 。

以下の問いに答えよ。

(1) 点 $P$ が $O$ を除く $C$ 上を動くとき、点 $Q$ は $\overrightarrow{OA}$ に直交する直線上を動くことを示せ。

(2) (1) の直線を $\ell$ とする。 $\ell$ が $C$ と2点で交わるとき、 $r$ のとりうる値の範囲を求めよ。

（配点率 $20\%$ ）

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) Qの位置ベクトルをqとすると $\displaystyle OA\cdot q=\frac12$ 。ゆえにQの軌跡はOAに垂直な直線ℓ。(2) OA方向をx軸、A=(r,0)と置けばℓは $\displaystyle x=\frac{1}{2r}$ 、Cは(x−r)^2+y^2=r^2。交点のy座標は $\displaystyle y=\pm\sqrt{1-\frac{1}{4r^2}}$ 。異なる2点を得る条件は $\displaystyle r>\frac12$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

円CはOを通り、中心Aと半径rなので |OA|=r。p=OP、q=OQ とすると点Pは円C上にあるので $|p-a|^2=r^2=|a|^2$ 、従って $|p|^2=2a\cdot p$ 。条件(a)(b)から $\displaystyle q=\frac{p}{|p|^2}$ 。ゆえに a·q=(a·p)/|p|²=1/2 となり、QはOAに垂直な直線ℓ上にある。逆にℓ上のqに対しp=q/|q|²と置くと 2a·q=1 より |p|²=2a·p が成立し、pはC上でOでないから、この直線がQの軌跡である。(2) OAをx軸に取ればA=(r,0)、ℓはx=1/(2r)。円の式に代入して $\displaystyle y^2=r^2-(\frac{1}{2r}-r)^2=1-\frac{1}{4r^2}$ 。異なる2交点の条件 y²>0 は $\displaystyle r>\frac12$ 。等号なら接し、r<1/2なら実交点がない。

この問題で使う考え方

内積
座標設定
円と直線の交点

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