4信州大学 2017年 数学 第4問解答・解説

円の中心を原点とし、正方形頂点を $A(1,-1),B(1,1),C(-1,1),D(-1,-1)$ とする。長方形を $E=(1,t),F=(1,-t),G=(x,-t),H=(x,t)$ と置けば円周条件は $x^2+t^2=2$、幅 $FG=x-1$、高さ $2t$。 (1) 正方形条件から $x-1=2t$。連立して許容根は $x=7/5,t=1/5$ で、一辺は$\displaystyle \frac25$。 (2) 面積 $S=2t(x-1)$。$t^2=2-x^2$ より最大化対象は $S^2=4(x-1)^2(2-x^2)$（$1<x<\sqrt2$）。微分すると $2(x-1)(2+x-2x^2)$ に比例し、唯一の内部臨界点は $x=(1+\sqrt{17})/4$。端では面積0で、これが最大点なので $FG=x-1=(\sqrt{17}-3)/4$。