5信州大学 2017年 数学 第5問解答・解説

$f(x)=2xe^{-x^2}$ とする。

(1) 微分すると $$f'(x)=2e^{-x^2}(1-2x^2).$$ 指数関数は正なので、$p=1/\sqrt2$ とおけば、$f'(x)<0$ は $x<-p$ と $x>p$、$f'(x)>0$ は $-p<x<p$ で成り立つ。したがって $-p$ は極小点、$p$ は極大点である。さらに $f(x)<0$ は $x<0$、$f(x)>0$ は $x>0$ で、$x\to\pm\infty$ で $f(x)\to0$ だから、全実数で最大値をとる点は $$\displaystyle \boxed{p=\frac1{\sqrt2}}.$$

(2) $a>0$ のとき $0\le x\le a$ では $f(x)\ge0$ である。曲線と $x$ 軸で囲まれる部分は $x=0$ から $x=a$ までなので、 $$\displaystyle S(a)=\int_0^a 2xe^{-x^2}\,dx =\left[-e^{-x^2}\right]_0^a =1-e^{-a^2}.$$ 従って $$\displaystyle \boxed{k=\lim\limits _{a\to\infty}S(a)=1}.$$

(3) $b>p=1/\sqrt2$ より $f(b)>0$ かつ $f'(b)<0$。接線は $$y=f(b)+f'(b)(x-b)$$ である。その $x$ 軸との交点の $x$ 座標を $c$ とすると、 $$\displaystyle c=b-\frac{f(b)}{f'(b)}>b.$$ したがって接線、直線 $x=b$、$x$ 軸で囲まれる部分は底辺 $c-b$、高さ $f(b)$ の三角形であり、 $$\displaystyle T(b)=\frac12(c-b)f(b) =-\frac{f(b)^2}{2f'(b)} =\frac{b^2e^{-b^2}}{2b^2-1}.$$ 条件 $S(b)+T(b)=k=1$ に代入すると、 $$\displaystyle 1-e^{-b^2}+\frac{b^2e^{-b^2}}{2b^2-1}=1 \text{であるための必要十分条件は} e^{-b^2}\left(-1+\frac{b^2}{2b^2-1}\right)=0 \text{、すなわち} b^2=1.$$ $b>1/\sqrt2>0$ より $$\boxed{b=1}.$$ 実際、$S(1)=1-e^{-1}$、$T(1)=e^{-1}$ で、その和は $k=1$ である。

$f(x)=2xe^{-x^2}$ とする。(1) $f'(x)=2e^{-x^2}(1-2x^2)$。$\displaystyle p=\frac{1}{\sqrt{2}}$ とすると、f' は x<−p と x>p で負、−p<x<p で正なので、−p は極小、p は極大である。x<0ではf<0、x>0ではf>0で、x→±∞でf(x)→0だから、全実数で最大値をとる点は$\displaystyle p=\frac{1}{\sqrt{2}}$。(2) a>0ではf(x)≧0 (0≦x≦a) なので、$\displaystyle S(a)=\int_0^a2xe^{-x^2}\,dx=[-e^{-x^2}]_0^a=1-e^{-a^2}$。よって$\displaystyle k=\lim\limits _{a\to\infty}S(a)=1$。(3) b>pならf(b)>0、f'(b)<0。接線の式 $y=f(b)+f'(b)(x-b)$ のx切片をcとすると、$\displaystyle c=b-\frac{f(b)}{f'(b)}>b$。従って$\displaystyle T(b)=\frac12(c-b)f(b)=-\frac{f(b)^2}{2f'(b)}=\frac{b^2e^{-b^2}}{2b^2-1}$。S(b)+T(b)=kより $\displaystyle e^{-b^2}\left(-1+\frac{b^2}{2b^2-1}\right)=0$。e^{-b²}>0なので$b^2=1$。条件b>1/√2からb=1。確認としてS(1)=1−e^{-1}, $T(1)=e^{-1}$で合計1。