3信州大学 2017年 数学 第3問解答・解説

(1) 回転後の座標から $$|OD|^2=(a_1\cos\theta_1-a_2\sin\theta_1)^2+(a_1\sin\theta_1+a_2\cos\theta_1)^2=a_1^2+a_2^2=|OA|^2.$$ 長さは非負なので $|OD|=|OA|$。

(2) $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=a_1b_2-a_2b_1=0$ より、$\overrightarrow{OB}=\lambda\overrightarrow{OA}$ とおける。与条件の内積が0でないので $\lambda|OA|^2\ne0$。回転で長さと内積が保たれることから $$\overrightarrow{OD}\cdot\overrightarrow{OE}=\lambda|OA|^2\cos(\theta_2-\theta_1).$$ これを $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OD}\cdot\overrightarrow{OE}$ に代入して共通の非零因子を消すと $\cos(\theta_2-\theta_1)=1/2$。$0\le\theta_1,\theta_2\le\pi$、$\theta_1=\pi/7$ より、$\theta_2-\theta_1=\pm\pi/3$ のうち範囲に入るのは $\pi/3$ だけである。したがって $$\displaystyle \theta_2=\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{3}=\frac{10\pi}{21}.$$

(3) $|OD|=|OA|$、$|OE|=|OB|$。三角形の面積を $\displaystyle \frac{abc}{4R}$（辺長 $a,b,c$、外接円半径 $R$）で表すと、 $$\displaystyle S=\frac{|OA||OB||AB|}{4r_1},\qquad [ODE]=\frac{|OD||OE||DE|}{4r_2}.$$ よって $$\displaystyle [ODE]=S\frac{|DE|}{|AB|}\frac{r_1}{r_2}=\frac{3Sr_1}{2r_2}.$$

回転座標の二乗和から $|OD|=|OA|$ が従う。$OC\perp OB$ と $OA\cdot OC=0$ から $OA\parallel OB$ となる。非零の内積条件を回転角差で表すと $\cos(\theta_2-\theta_1)=1/2$。角度範囲から $\theta_2=10\pi/21$。最後に三角形の面積公式 $K=abc/(4R)$ と長さ保存、$DE/AB=3/2$ を用いる。