6信州大学 2017年 数学 第6問解答・解説

$$x=3\cos t+\cos3t=4\cos^3t,\quad y=3\sin t-\sin3t=4\sin^3t.$$ $$x'=-12\cos^2t\sin t,\quad y'=12\sin^2t\cos t,\quad\sqrt{(x')^2+(y')^2}=12|\sin t\cos t|.$$ $$\displaystyle L=12\int_0^{2\pi}|\sin t\cos t|\,dt=24.$$ $$\displaystyle S=\frac12\int_0^{2\pi}(xy'-yx')\,dt=24\int_0^{2\pi}\sin^2t\cos^2t\,dt=6\pi.$$

三倍角公式より $x=3\cos t+\cos3t=4\cos^3t$、$y=3\sin t-\sin3t=4\sin^3t$。 (1) $x'=-12\cos^2t\sin t$、$y'=12\sin^2t\cos t$ だから速さは $12|\sin t\cos t|$。よって弧長は $\displaystyle 12\int_{0}^{2\pi}|\sin t\cos t|\,dt=12\cdot2=24$。 (2) $t$が$0$から$2\pi$に増えると曲線は反時計回りに一周する。面積は $\displaystyle \frac12\int_{0}^{2\pi}(xy'-yx')dt$。ここで $xy'-yx'=48\sin^2t\cos^2t$ なので、面積は $\displaystyle 24\int_{0}^{2\pi}\sin^2t\cos^2t\,dt=24\cdot(\pi/4)=6\pi$。