3岡山大学 2010年 数学 第3問解答・解説

(1) $Q=(X,Y)$とし$t=\cos\theta$とおく。$0\le\theta<\pi/2$より$0<t\le1$である。中点の公式と三倍角公式から $$\displaystyle X=\frac12\cos\theta+\frac14\cos3\theta=t^3-\frac14t.$$ 次の因数分解で上下を評価できる。 $$\displaystyle \begin{aligned}X+\frac{1}{12\sqrt3}&=\left(t-\frac{1}{2\sqrt3}\right)^2\left(t+\frac1{\sqrt3}\right)\ge0,\\ \frac34-X&=(1-t)\left(t^2+t+\frac34\right)\ge0. \end{aligned}$$ 下端は$t=1/(2\sqrt3)$、上端は$t=1$で達成する。$X$はこの2点間で連続なので間の全値もとる。従って $$\displaystyle \boxed{-\frac{1}{12\sqrt3}\le X\le\frac34}.$$ (2) $X=0$は$t(t-1/2)(t+1/2)=0$であり、$t>0$より$t=1/2$だけ。よって$\boxed{\alpha=\pi/3}$。 2つの位置ベクトルの内積は $$\displaystyle \overrightarrow{OP_1}\cdot\overrightarrow{OP_2}=\frac12\cos(3\theta-\theta)=\frac12\cos2\theta.$$ 中点の位置ベクトルを二乗すると $$\displaystyle r(\theta)^2=\frac14\left(1+\frac14+\cos2\theta\right)=\frac5{16}+\frac14\cos2\theta.$$ 従って $$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^\alpha r(\theta)^2d\theta&=\left[\frac5{16}\theta+\frac18\sin2\theta\right]_0^{\pi/3}\\&=\boxed{\frac{5\pi}{48}+\frac{\sqrt3}{16}}.\end{aligned}$$