岡山大学 2010年数学第2問解答・解説

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1問題

岡山大学2010年度第2問

次の条件で定められる数列 $\{a_{n}\}$ を考える。 $a_{1}=1,\quad a_{2}=3,\quad a_{n+2}=a_{n}+a_{n+1}\quad(n=1,2,3,\dots)$

(1) すべての自然数 $n$ に対して $X\begin{pmatrix}a_{n}&a_{n+1}\\a_{n+1}&a_{n+2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{n+1}&a_{n+2}\\a_{n+2}&a_{n+3}\end{pmatrix}$ が成り立つように，行列 $X$ を定めよ。

(2) 自然数 $n$ に対して $a_{n}a_{n+2}-(a_{n+1})^{2}$ の値を推測して，その結果を数学的帰納法によって証明せよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $X=\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}.$ (2) $a_na_{n+2}-(a_{n+1})^2=5(-1)^n.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$X=\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix},\quad a_na_{n+2}-(a_{n+1})^2=5(-1)^n.$

この問題で使う考え方

漸化式
行列成分の比較
帰納法

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