4岡山大学 2010年 数学 第4問解答・解説

各小円の中心は、円$C$の中心を中心とする円周上に並ぶ。隣り合う小円の中心を結ぶ線分の長さは、小円の直径である。隣り合う中心を結ぶ弦の中心角は$\displaystyle \frac{2\pi}{n}$なので、その半分の角を$\displaystyle \frac{\pi}{n}$とおく。　 外接する場合、中心間距離は$1+R_n$である。中心を結ぶ二等辺三角形を二等分すると、$\displaystyle R_n=(1+R_n)\sin\frac{\pi}{n}$を得る。内接する場合は中心間距離が$1-r_n$であり、同様に$\displaystyle r_n=(1-r_n)\sin\frac{\pi}{n}$となる。　 $\displaystyle s=\sin\frac{\pi}{n}$とおけば、$\displaystyle R_n=\frac{s}{1-s}$, $\displaystyle r_n=\frac{s}{1+s}$である。$n\geq3$より$0<s<1$なので、これらの式は定まる。　 (1) $n=6$では$\displaystyle s=\sin\frac{\pi}{6}=\frac12$だから、$\displaystyle R_6=\frac{1/2}{1-1/2}=1$, $\displaystyle r_6=\frac{1/2}{1+1/2}=\frac13$。　 (2) $\displaystyle R_n-r_n=\frac{s}{1-s}-\frac{s}{1+s}=\frac{2s^2}{1-s^2}$である。$\displaystyle x=\frac{\pi}{n}$とおくと、$x\to0$のとき、与えられた$\displaystyle \lim\limits _{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$より$\displaystyle n\sin\frac{\pi}{n}=\pi\frac{\sin x}{x}\to\pi$, また$\displaystyle \sin\frac{\pi}{n}\to0$。したがって$\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}n^2(R_n-r_n)=\lim\limits _{n\to\infty}\frac{2(n\sin\frac{\pi}{n})^2}{1-\sin^2\frac{\pi}{n}}=2\pi^2$。

隣り合う小円の中心間距離は小円の直径。各中心を結ぶ弦の中心角は$\displaystyle \frac{2\pi}{n}$で、半角を$\displaystyle \frac{\pi}{n}$とする。外接配置は $\displaystyle R_n=(1+R_n)\sin\frac{\pi}{n}$、内接配置は $\displaystyle r_n=(1-r_n)\sin\frac{\pi}{n}$。したがって $\displaystyle s=\sin\frac{\pi}{n}$ とおけば $\displaystyle R_n=\frac{s}{1-s},\ r_n=\frac{s}{1+s}$。$n=6$では$\displaystyle 1,\frac13$。差は$\displaystyle \frac{2s^2}{1-s^2}$なので、$\displaystyle n\sin\frac{\pi}{n}\to\pi$から極限は$2\pi^2$。