3大阪大学 2001年 数学 第3問解答・解説

(1) $P_0$ から $P_k$ までの短い方の弧に対応する中心角を $$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2n}\min(k,4n-k)\quad(0\le\theta\le\pi)$$ とする。半径1の円の弦なので余弦定理から $P_0P_k^2=2-2\cos\theta$。従って $P_0P_k\ge\sqrt2$ は $\cos\theta\le0$、すなわち $\theta\ge\pi/2$ と同値であり、$\displaystyle \min(k,4n-k)\ge n$。よって $n\le k\le3n$。

(2) 三角形の3頂点を円周上の順に並べ、隣り合う頂点間の刻み数を $a,b,c$ とする。これらは正整数で $a+b+c=4n$。各辺の弦長が $\sqrt2$ 以上となるには各刻み数が $n$ 以上（(1)と同じ弦条件）であればよい。和が $4n$ なので各刻み数はさらに $2n$ 以下となり、短い弧についても条件を満たす。$a=n+x,b=n+y,c=n+z$ とおけば $x,y,z\ge0$、$x+y+z=n$。その組数は重複組合せ $\displaystyle \binom{n+2}{2}$。

円周上の始点を $4n$ 通り選ぶと三角形とその後続2頂点が決まる。一つの三角形は3頂点のどれを始点にするかでちょうど3回数えられるので $$\displaystyle g(n)=\frac{4n}{3}\binom{n+2}{2} =\frac{2n(n+1)(n+2)}3.$$