2大阪大学 2001年 数学 第2問解答・解説

接点の $x$ 座標を $t$ とする。接線の傾きは $f'(t)$ であり、その $y$ 切片は $f(t)-tf'(t)$ だから、$$a=h(t):=f(t)-tf'(t)=-3t^4-2t^3+3t^2$$ を満たす。$$\displaystyle h'(t)=-6t(2t-1)(t+1),\qquad h(-1)=2,\quad h(0)=0,\quad h\!\left(\frac12\right)=\frac5{16}.$$ 増減より、$h$ は $t<-1$ で $-\infty$ から $2$ まで増加し、$-1<t<0$ で $2$ から $0$ まで減少する。また $h$ の最大値は $2$ で、これをとるのは $t=-1$ のみである。したがって $a>2$ では接線はなく、$a=2$ のとき接点の候補は $t=-1$ だけである。さらに $a<2$ なら、$t<-1$ に $h(t)=a$ を満たす $t$ がある。$a<0$ なら $t>1/2$ にもあり、$a=0$ なら $t=0$ があり、$0<a<2$ なら $-1<t<0$ にもあるので、いずれも異なる接点候補が少なくとも二つある。

ただし、異なる接点が同じ接線上にある可能性を調べる。点 $(0,a)$ を通る傾き $m$ の直線に対し、交点の方程式は $x^4+x^3-3x^2-mx-a=0$ である。異なる二点 $t,u$ で同じ直線が接するなら、この四次式は $(x-t)^2(x-u)^2$ に等しい。係数比較から $\displaystyle t+u=-\frac12$, $\displaystyle tu=-\frac{13}{8}$, $\displaystyle a=-\frac{169}{64}$ を得る。この例外では実際に $$\displaystyle x^4+x^3-3x^2-\frac{13}{8}x+\frac{169}{64}=\left(x^2+\frac12x-\frac{13}{8}\right)^2$$ となる。右辺の二次式の判別式は $\displaystyle \frac14+\frac{13}{2}=\frac{27}{4}>0$ なので、異なる二つの実数解をもつ。よってこのとき唯一の接線があるとしても二点で接する。したがって条件を満たすのは $a=2$ のみである。

$a=2$ のとき $t=-1$ で、$f(-1)=-3$, $f'(-1)=5$ より接線は $y=5x+2$。この直線との交点は $$f(x)-(5x+2)=x^4+x^3-3x^2-5x-2=(x+1)^3(x-2)=0$$ であり、重解は $x=-1$ だけである。$x=2$ は単純交点なので接点ではない。ゆえにこの直線はただ一点 $(-1,-3)$ で曲線に接し、求める値は $\boxed{2}$ である。