大阪大学 2001年数学第5問解答・解説

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1問題

大阪大学2001年度第5問

数列 $\{a_n\}$ において，各項 $a_n$ が $a_n\geq0$ をみたし，かつ $\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}a_n=\frac{1}{2}$ が成り立つとする。さらに各 $n$ に対し $b_n=(1-a_1)(1-a_2)\cdots(1-a_n),\qquad c_n=1-(a_1+a_2+\cdots+a_n)$ とおく。

(1) すべての $n$ に対し不等式 $b_n\geq c_n$ が成り立つことを，数学的帰納法で示せ。

(2) ある $n$ について $b_{n+1}=c_{n+1}$ が成り立てば， $b_n=c_n$ となることを示せ。

(3) $\displaystyle b_3=\frac{1}{2}$ となるとき， $\displaystyle c_3=\frac{1}{2}$ であることを示せ。また $\displaystyle b_3=\frac{1}{2}$ となる数列 $\{a_n\}$ は全部で何種類あるかを求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) すべての $n$ で $b_n\ge c_n$ である。(2) $b_{n+1}=c_{n+1}$ ならば $b_n=c_n$ である。(3) $\displaystyle c_3=\frac12$ であり、該当する数列は $\displaystyle (a_1,a_2,a_3)=(\frac12,0,0),(0,\frac12,0),(0,0,\frac12)$ のいずれかで、 $a_n=0$ ( $n\ge4$ )。したがって全部で3種類である。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$a_n\ge0$ かつ $\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}a_n=1/2$ より $0\le a_n\le1/2$ 、 $c_n\ge1/2$ 。 $D_n=b_n-c_n,\qquad D_{n+1}=(1-a_{n+1})D_n+a_{n+1}(1-c_n),\qquad D_1=0.$ (1) 右辺の二項は非負なので、帰納法により $b_n\ge c_n$ 。

(2) $b_{n+1}=c_{n+1}$ なら $D_{n+1}=0$ 。上の等式の二項は非負で、 $1-a_{n+1}\ge1/2>0$ だから $D_n=0$ 、従って $b_n=c_n$ 。

(3) $b_3=1/2$ と (1)、 $c_3\ge1/2$ より $c_3=1/2$ 。ゆえに $a_1+a_2+a_3=1/2$ かつ $a_n=0\ (n\ge4)$ 。また $D_2=a_1a_2,\qquad D_3=(1-a_3)a_1a_2+a_3(a_1+a_2)=0.$ 各項は非負で $1-a_3>0$ なので $a_1a_2=0$ 、 $a_3(a_1+a_2)=0$ 。従って先頭3項は $(a_1,a_2,a_3)=(1/2,0,0),\ (0,1/2,0),\ (0,0,1/2),$ の3通りであり、いずれも条件を満たす。

この問題で使う考え方

差 b_n−c_n の漸化式
帰納法
等号条件の分解
場合分け

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