5筑波大学 2018年 数学 第5問解答・解説

・ $t=\pi\tan u$ と置換する。積分区間は $u=0$ から $u=\pi/4$ へ移り、$dt=\pi(1+\tan^2u)\,du$ および $t^2+\pi^2=\pi^2(1+\tan^2u)$ より $$\displaystyle f(\pi)=\int_0^{\pi/4}4\,du=\pi.$$ また、微積分の基本定理から $$\displaystyle f'(x)=\frac{4\pi}{x^2+\pi^2}.$$ $x\ge\pi$ では $x^2+\pi^2\ge2\pi^2>0$ だから $$\displaystyle 0<f'(x)=\frac{4\pi}{x^2+\pi^2}\le\frac{4\pi}{2\pi^2}=\frac2\pi.$$

・ $a_1=c\ge\pi$。$a_n\ge\pi$ と仮定すると、被積分関数は正なので $$\displaystyle a_{n+1}-\pi=f(a_n)-f(\pi)=\int_\pi^{a_n}\frac{4\pi}{t^2+\pi^2}\,dt\ge0.$$ 従って $a_{n+1}\ge\pi$。帰納法により、全ての自然数 $n$ について $a_n\ge\pi$。

・ (2)より $a_n\ge\pi$。積分区間上で (1) の評価を用いると $$\displaystyle \left|a_{n+1}-\pi\right|=f(a_n)-f(\pi)=\int_\pi^{a_n}\frac{4\pi}{t^2+\pi^2}\,dt\le\frac2\pi(a_n-\pi)=\frac2\pi\left|a_n-\pi\right|.$$ $q=2/\pi$ と置くと $0<q<1$。この不等式を繰り返せば $$0\le a_n-\pi\le q^{n-1}(c-\pi)\longrightarrow0\quad(n\to\infty).$$ よって $\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}a_n=\pi$。