3福井大学 2019年 数学 第3問解答・解説

(1) $\arctan x$ は $-\pi/2<\theta<\pi/2$ で $\tan\theta=x$ を満たす一意な角 $\theta$ として定義する。$0\le x\le1$ では $0\le\theta\le\pi/4$ であり、$x=\tan\theta$ を微分すると $dx=(1+\tan^2\theta)d\theta$ だから、 $$\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\int_0^{\pi/4}d\theta=\frac{\pi}{4}.$$ (2) $u=n\pi x$ と置くと積分範囲は$k\pi$から$(k+1)\pi$で、$|\sin u|$のこの長さ$\pi$の積分は$2$。従って値は$\displaystyle \frac{2}{n\pi}$。 (3) $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^2}$は$0\le x\le1$の範囲で減少する。各範囲 $\displaystyle \frac{k}{n}\le x\le\frac{k+1}{n}$ で $\displaystyle f\left(\frac{k+1}{n}\right)\le f(x)\le f\left(\frac{k}{n}\right)$ だから積分は上下から $\displaystyle \frac{2}{n\pi}\sum f(\frac{k+1}{n})$ と $\displaystyle \frac{2}{n\pi}\sum f(\frac{k}{n})$ に挟まれる。両端は区分求積により $\displaystyle \frac2\pi\int_0^1f(x)\,dx=\frac2\pi\cdot\frac\pi4=\frac12$ に収束し、はさみうちにより極限は$\displaystyle \frac12$。