2福井大学 2019年 数学 第2問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) }m=\min\limits _i x_i,\ M=\max\limits _i x_i,\ R=M-m\text{ とおく。平均を }\bar x\text{ とすると }m\leq\bar x\leq M\text{ だから }|x_i-\bar x|\le R. \text{したがって} s_x^2=\frac1n\sum\limits _{i=1}^n(x_i-\bar x)^2\le R^2,\quad\boxed{s_x\le M-m}. R=0\text{ なら全データが等しく等号成立。}R>0\text{ のとき最小値・最大値の両方が存在し、両方が平均から距離 }R\text{ となることはできない。よって等号は成立しない。} \text{(2) }c_{xy}=\frac1n\sum\limits _{i=1}^n(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)\text{ とする。}\bar z=\bar x-\bar y\text{ より} s_z^2=\frac1n\sum\{(x_i-\bar x)-(y_i-\bar y)\}^2=s_x^2+s_y^2-2c_{xy}. r=\frac{c_{xy}}{s_xs_y}\text{ だから }\boxed{r=\frac{s_x^2+s_y^2-s_z^2}{2s_xs_y}}. \text{(3) 平均から }y_1+y_2=10\cdot65-(63+77+61+63+70+79+62+65)=110. \text{偏差平方和は }10\cdot64.8=648.\text{ 既知8名分は }(-2)^2+12^2+(-4)^2+(-2)^2+5^2+14^2+(-3)^2+0^2=398. d_i=y_i-65\text{ とおけば }d_1+d_2=-20,\quad d_1^2+d_2^2=250,\quad d_1d_2=\frac{400-250}{2}=75. \{d_1,d_2\}=\{-15,-5\}.\text{ }y_1<y_2\text{ より }\boxed{y_1=50,\ y_2=60}. \text{(2)より }r=\frac{83.4+64.8-19.0}{2\cdot9.13\cdot8.05}=\frac{129.2}{146.993}\fallingdotseq\boxed{0.88}.\text{ 高身長ほど高体重となる傾向の強い正の相関がある。}$$

(1) $\displaystyle m=\min(x),\ M=\max(x),\ R=M-m$とする。平均値も $m$ 以上 $M$ 以下なので各 $i$ について $|x_i-\text{平均}|\leq R$ であり、分散の平均から $s_x^2\leq R^2$、よって $s_x\leq R$。$R=0$ なら全データが等しく等号。$R>0$ なら最小値と最大値の両方が存在し、両者が平均からともに距離 $R$ となることは不可能なので少なくとも不等号は一つ厳しく、等号はない。(2) $z_i=x_i-y_i$ とし、共分散を $\displaystyle c_{xy}=\frac1n\sum(x_i-\text{平均}x)(y_i-\text{平均}y)$ とおくと、$s_z^2=s_x^2+s_y^2-2c_{xy}$。また $\displaystyle r=\frac{c_{xy}}{s_xs_y}$ だから所定の式を得る。(3) $y$ の平均から $y_1+y_2=110$。平均65での偏差平方和は $10\times64.8=648$。既知8人の偏差平方和は398だから、$d_i=y_i-65$ とすると $d_1+d_2=-20,\ d_1^2+d_2^2=250$。従って $\displaystyle d_1d_2=\frac{(-20)^2-250}{2}=75$ であり、$d_1,d_2$ は $-15,-5$。$y_1<y_2$ より $y_1=50,\ y_2=60$。(2)を使うと $\displaystyle r=\frac{83.4+64.8-19.0}{2\cdot9.13\cdot8.05}=\frac{129.2}{146.993}\approx0.87895$ で、小数第2位まで $0.88$。正の値で大きいため強い正の相関といえる。