4福井大学 2019年 数学 第4問解答・解説

$H=2\sqrt2$ とおく。重心がそれぞれ $O,P$ であることと正三角形であることから $$B=(1,-\sqrt3,0),\quad C=(1,\sqrt3,0),\quad E=(-1,\sqrt3,H),\quad F=(-1,-\sqrt3,H).$$ 高さ $z=t$ の水平断面で $u=t/H$ とすると、正四面体 $PABC$ の断面は頂点 $$(-2(1-u),0),\quad (1-u,\pm\sqrt3(1-u))$$ をもつ三角形であり、正四面体 $ODEF$ の断面は $$(2u,0),\quad (-u,\pm\sqrt3u)$$ を頂点とする三角形である。

(1) $0\le u\le1/3$ では後者の小さい三角形全体が前者に含まれるため、共通部分の面積は、辺長 $2\sqrt3u$ の正三角形の面積 $$S(t)=3\sqrt3u^2$$ である。$1/3\le u\le1/2$ では断面の共通部分は六角形となり、その頂点を順に $$\displaystyle \left(-u,\frac{2-3u}{\sqrt3}\right),\quad (2u-1,\tfrac1{\sqrt3}),\quad \left(1-u,\frac{3u-1}{\sqrt3}\right),\quad \left(1-u,-\frac{3u-1}{\sqrt3}\right),\quad (2u-1,-\tfrac1{\sqrt3}),\quad \left(-u,-\frac{2-3u}{\sqrt3}\right)$$ と表せる。座標から面積を計算すると $\sqrt3(6u-6u^2-1)$ となる。$u=t/(2\sqrt2)$ を代入すれば $$\displaystyle S(t)=\begin{cases} \dfrac{3\sqrt3}{8}t^2,&0\le t\le\dfrac{2\sqrt2}{3},\\[4pt] \sqrt3\left(-\dfrac34t^2+\dfrac{3}{\sqrt2}t-1\right),&\dfrac{2\sqrt2}{3}\le t\le\sqrt2. \end{cases}$$ 境界 $t=2\sqrt2/3$ で両式はともに $\sqrt3/3$ となる。

(2) 点 $(x,y,z)\mapsto(-x,-y,H-z)$ は二つの正四面体を入れ替えるので、$K$ は $z=H/2=\sqrt2$ に関して対称である。従って $$\displaystyle \begin{aligned} V_K&=2\int_0^{\sqrt2}S(t)\,dt\\ &=2\left[\int_0^{2\sqrt2/3}\frac{3\sqrt3}{8}t^2\,dt +\int_{2\sqrt2/3}^{\sqrt2}\sqrt3\left(-\frac34t^2+\frac{3}{\sqrt2}t-1\right)dt\right] =\frac{4\sqrt6}{9}. \end{aligned}$$

(3) 同じ対称性より、表面の下半分を2倍すれば全表面積になる。下半分には、正四面体 $PABC$ の側面の一部である合同な正三角形が3枚と、正四面体 $ODEF$ の側面の一部である合同な五角形が3枚ある。三角形の1枚は頂点 $$\displaystyle U=(\tfrac23,0,\tfrac{2\sqrt2}{3}),\quad V=(\tfrac12,\tfrac1{2\sqrt3},\sqrt2),\quad W=(\tfrac12,-\tfrac1{2\sqrt3},\sqrt2)$$ をもつ。各辺の長さは $1/\sqrt3$ なので面積は $\sqrt3/12$。

五角形の1枚は頂点 $$\displaystyle O=(0,0,0),\quad X=(-\tfrac13,\tfrac1{\sqrt3},\tfrac{2\sqrt2}{3}),\quad Y=(0,\tfrac1{\sqrt3},\sqrt2),\quad Z=(\tfrac12,\tfrac1{2\sqrt3},\sqrt2),\quad W=(\tfrac23,0,\tfrac{2\sqrt2}{3})$$ を順に結んだもの。これを $OXY,OYZ,OZW$ の3三角形に分ける。各辺の長さを座標から求め、三角形の面積公式を適用すると、3つの面積は順に $\sqrt3/6,\sqrt3/4,\sqrt3/6$ だから、五角形の面積は $7\sqrt3/12$ である。したがって $$\displaystyle \operatorname{Area}(\partial K) =2\cdot3\left(\frac{\sqrt3}{12}+\frac{7\sqrt3}{12}\right)=4\sqrt3.$$