5新潟大学 2019年 数学 第5問解答・解説

(1) $t=\sin x+\cos x$ とすると $$\displaystyle t^2=\sin^2x+\cos^2x+2\sin x\cos x=1+2\sin x\cos x, \quad \sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}.$$ したがって $$\displaystyle f(x)=\frac{t}{1+a(t^2-1)/2}=\frac{2t}{at^2+2-a}.$$ また $t=\sqrt2\sin(x+\pi/4)$ だから、実数 $x$ 全体で $-\sqrt2\le t\le\sqrt2$ である。分母は元の形で $1+a\sin x\cos x\ge 1-|a|/2>0$ となる。

(2) $g(t)=2t/(at^2+2-a)$ とおく。分母は正で $g$ は奇関数だから、最大値は $t\ge0$ での最大値、最小値はその反対符号である。

まず $-2<a\le2/3$ とする。$0\le u<v\le\sqrt2$ に対して $$\displaystyle g(v)-g(u)= \frac{2(v-u)(2-a-auv)} {(av^2+2-a)(au^2+2-a)}.$$ 分母は正である。$a\le0$ なら $2-a-auv>0$、また $0<a\le2/3$ なら $uv\le2$ より $2-a-auv\ge2-3a\ge0$ である。ゆえに $g$ は $0\le t\le\sqrt2$ で、$t$ が大きくなっても値は小さくならず、 $$\displaystyle \max g=g(\sqrt2)=\frac{2\sqrt2}{a+2}.$$

次に $2/3<a<2$ とする。このとき $t_0=\sqrt{(2-a)/a}$ は $0<t_0<\sqrt2$ を満たす。$t\ge0$ では $$at^2+2-a\ge2\sqrt{a(2-a)}\,t$$ （左辺と右辺の差は $(\sqrt a\,t-\sqrt{2-a})^2$）なので $$\displaystyle g(t)\le\frac1{\sqrt{a(2-a)}}.$$ 等号は $t=t_0$ で成立する。奇関数性から最小値はこの最大値の反対符号となる。

(3) $u=\sin x-\cos x$ とおくと $$\displaystyle du=(\sin x+\cos x)\,dx,\quad \sin x\cos x=\frac{1-u^2}{2},\quad u(0)=-1,\quad u(\pi/2)=1.$$ よって $$\displaystyle \int_0^{\pi/2} f(x)\,dx =\int_{-1}^{1}\frac{2}{2+a-au^2}\,du.$$ $a=-1$ のとき $$\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{2}{1+u^2}\,du =2\int_{-\pi/4}^{\pi/4}d\theta\quad(u=\tan\theta)=\pi.$$ $a=1$ のとき $$\displaystyle \frac{2}{3-u^2} =\frac1{\sqrt3}\left(\frac1{\sqrt3-u}+\frac1{\sqrt3+u}\right),$$ したがって $$\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{2}{3-u^2}\,du =\frac1{\sqrt3} \left[\ln\frac{\sqrt3+u}{\sqrt3-u}\right]_{-1}^{1} =\frac{2}{\sqrt3}\ln(2+\sqrt3).$$