新潟大学 2019年数学第4問解答・解説

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1問題

新潟大学2019年度第4問

半径がそれぞれ a，b の円を C_a，C_b とする。C_a 上に点 A，C_b 上に点 B をとる。はじめに2点 A，B を一致させ，C_b を C_a に外接させながら滑らないように回転させる。ここで，点 B が再び C_a 上に来るときを C_b の回転の1周期とする。次の問いに答えよ。ただし，必要があれば，自然数 m，n の最大公約数を gcd(m,n) で表せ。

(1) a，b を自然数とする。C_b 上の点 B が C_a 上の点 A に再び一致するとき，C_b は何周期回転しているか，a，b を用いて表せ。

(2) a，b を正の有理数とし，a=p/q，b=s/t とおく。ここで p，q は互いに素な自然数とし，s，t も互いに素な自然数とする。C_b 上の点 B が C_a 上の点 A に再び一致するとき，C_b は何周期回転しているか，p，q，s，t を用いて表せ。

(3) a，b は互いに素な自然数とする。k=1,2,…,a に対して，C_b が k 周期回転したとき，点 B が一致する C_a 上の点を A_k とする。このとき {A_1，A_2，…，A_a} は C_a をちょうど a 等分することを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$\displaystyle \frac{a}{\gcd(a,b)}$ 周期
(2)
$\displaystyle \frac{pt}{\gcd(pt,qs)}$ 周期
(3)
$k$ 周期後の接点角は $\displaystyle \frac{2\pi kb}{a}$ 。 $a,b$ が互いに素なら $k=1,\ldots,a$ に対する剰余 $kb\pmod a$ は全剰余類を一度ずつとるため、点は $C_a$ をちょうど $a$ 等分する。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

中心が $C_a$ の中心の周りに角 $\theta$ 進むと、中心の移動距離は $(a+b)\theta$ 。無滑り条件から $C_b$ の自転角 $\phi$ は $b\phi=(a+b)\theta$ を満たす。点 $B$ が次に $C_a$ に触れる条件は自転と接点の進みの差 $\phi-\theta=2\pi$ であり、1周期の中心角は $\displaystyle \frac{2\pi b}{a}$ 。従って $N$ 周期後の接点は初期位置から $\displaystyle \frac{2\pi Nb}{a}$ 進む。元の点への再一致は $\displaystyle \frac{Nb}{a}$ が整数となる最小 $N$ を約分で求め、最後は互いに素な $a,b$ の剰余類の置換から等分性を示す。

この問題で使う考え方

無滑り条件と弧長
回転角を用いた周期条件
分数の約分と最大公約数
整数の剰余類

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