1鹿児島大学 2018年 数学 第1問解答・解説

・ 余弦定理より、$$AB^2=BC^2+CA^2-2\,BC\cdot CA\cos C$$ である。したがって $4=1+3-2\sqrt{3}\cos C$ から $\cos C=0$、よって $\angle C=90^\circ$ である。三角形の面積を $K$ とすると、$$\displaystyle K=\frac12 BC\cdot CA\sin C=\frac{\sqrt{3}}2.$$ 内心から各辺までの距離はいずれも $r$ だから、三角形 $ABC$ の面積は、内心と各辺でできる三つの三角形の面積の和として $$\displaystyle K=\frac12 r(AB+BC+CA)=\frac12 r(3+\sqrt{3})$$ と表せる。よって $\displaystyle r=\frac{\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$。

・ 加法定理より、$$\begin{aligned} \sin(x+y)\sin(x-y)&=(\sin x\cos y+\cos x\sin y)(\sin x\cos y-\cos x\sin y)\\ &=\sin^2x\cos^2y-\cos^2x\sin^2y\\ &=\sin^2x(1-\sin^2y)-(1-\sin^2x)\sin^2y\\ &=\sin^2x-\sin^2y. \end{aligned}$$ よって示された。

・ $1\le k\le p-1$ より、$$\displaystyle k\binom pk=\frac{k\,p!}{k!(p-k)!}=p\frac{(p-1)!}{(k-1)!(p-k)!}=p\binom{p-1}{k-1}.$$ 右辺は $p$ の倍数である。したがって $\displaystyle p\mid k\binom pk$。一方、$p$ は素数で $1\le k<p$ だから $p\nmid k$ である。素数が積を割り切るとき因数の少なくとも一方を割り切るので、$\displaystyle p\mid\binom pk$ を得る。