5鹿児島大学 2018年 数学 第5問解答・解説

(1) $$4-3i-iz=-i(z+3+4i)$$ であるから、条件は $$|z+3+4i|=2$$ となる。したがって、点 $z$ の全体は、中心 $-3-4i$、半径 $2$ の円である。

(2) この円の中心 $-3-4i$ と原点との距離は $\sqrt{3^2+4^2}=5$ である。円周上の点 $z$ について、三角不等式と逆三角不等式から $$5-2=|-3-4i|-|z+3+4i|\le |z|\le |-3-4i|+|z+3+4i|=5+2$$ を得る。中心と原点を結ぶ直線上で、中心から原点と反対側へ距離 $2$ 進んだ点、および中心から原点側へ距離 $2$ 進んだ点はいずれも円周上にある。これらの点でそれぞれ $|z|=7$、$|z|=3$ となる。よって最大値は $7$、最小値は $3$ である。

(3) $u=z+1+4i$ とおくと $z+3+4i=u+2$ なので、$|u+2|=2$ である。また、除外条件 $z\ne-1-4i$ は $u\ne0$ にあたる。 $$\displaystyle w=\frac1u\quad (u\ne0)$$ より、$|u+2|=2$ の両辺に $|w|=1/|u|$ を掛けると $$|1+2w|=2|w|$$ を得る。両辺を2乗し、$w=a+bi$ とおくと $$(1+2a)^2+4b^2=4(a^2+b^2),\qquad 1+4a=0$$ となる。したがって $\displaystyle a=-\frac14$、すなわち点 $w$ の全体は直線 $\displaystyle \operatorname{Re}w=-\frac14$ 上にある。逆に、この直線上の任意の点 $\displaystyle w=-\frac14+bi$ は $w\ne0$ であり、$|1+2w|=2|w|$ を満たす。$u=1/w$ とおけば $|u+2|=2$ となるので、その点は実際に得られる。よって軌跡は直線全体である。

この直線上では $\displaystyle w=-\frac14+bi$ と書けるから、 $$\displaystyle |w|^2=\frac1{16}+b^2\ge\frac1{16}$$ であり、等号は $b=0$ のときに成り立つ。したがって $|w|$ の最小値は $\displaystyle \frac14$ であり、それを与える点は $\displaystyle w=-\frac14$ である。