2広島大学 2020年 数学 第2問解答・解説

(1)　 z$\ne$-1 より w は定義される。もし w=1 ならば z-i=z+1 となり、-i=1 を得るが、これは不可能である。よって w$\ne$1 である。また、w(z+1)=z-i を整理すると (1-w)z=w+i となる。w$\ne$1 なので、$$\displaystyle z=\frac{w+i}{1-w}.$$(2)　 z=t+iy ($y$ は実数) とおく。t$\ne$-1 なので z$\ne$-1 であり、(1)より w$\ne$1 である。w=u+iv ($u,v$ は実数) とおくと、(1)の逆変換から $$\displaystyle z=\frac{w+i}{1-w}=\frac{(w+i)(1-\overline w)}{|1-w|^2}=\frac{u-u^2-v^2-v+i(1-u+v)}{(1-u)^2+v^2}.$$したがって $\operatorname{Re}z=t$ は $$u-u^2-v^2-v=t\bigl((1-u)^2+v^2\bigr),$$すなわち $$(t+1)(u^2+v^2)-(1+2t)u+v+t=0$$と同値である。t$\ne$-1 だから平方完成でき、$$\displaystyle \left(u-\frac{1+2t}{2(t+1)}\right)^2+\left(v+\frac{1}{2(t+1)}\right)^2=\frac{1}{2(t+1)^2}.$$ゆえに円の中心に対応する複素数は $$\displaystyle P_t=\frac{1+2t}{2(t+1)}-\frac{i}{2(t+1)}=1-\frac{1+i}{2(t+1)},$$半径は $1/(\sqrt2|t+1|)$ である。この円は点1を通るが、(1)より w=1 は取られない。逆に、この円上の w$\ne$1 に対して (1)の式で z を定めると $\operatorname{Re}z=t$ であり、t$\ne$-1 より z$\ne$-1 である。したがって w の軌跡はこの円から点1を除いた図形である。(3)　 $s=1/(2(t+1))$ とおくと、t が -1 以外の実数全体を動くとき、s は0以外の実数全体を動く。したがって $$P_t=1-s(1+i)=(1-s)-is.$$実部を x、虚部を y とすれば x=1-s, y=-s なので y=x-1 であり、s$\ne$0 より点 (1,0) は除かれる。よって求める図形は、実軸・虚軸を座標軸として (0,-1) と (1,0) を通る傾き1の直線上から (1,0) だけを除いたものである。