5広島大学 2020年 数学 第5問解答・解説

(1) 和が7となる順序付きサイコロ三つ組は、最初の目を1,2,3,4,5としたときそれぞれ5,4,3,2,1通り。従って $$\displaystyle \boxed{P(a_1+a_2+a_3=7)=\frac{15}{6^3}=\frac5{72}}.$$

(2) $b_1=1$ は、硬貨が表の場合、または裏で $a_1=1$ の場合なので $$\displaystyle \boxed{P(b_1=1)=\frac12+\frac12\cdot\frac16=\frac7{12}}.$$

(3) $B=\{\vec b=(1,1,1)\}$ とする。各成分で $P(b_k=1)=7/12$ で、独立だから $P(B)=(7/12)^3=343/1728$。固定された $\vec a=(1,1,5)$ のとき、最初の2成分の $b$ は硬貨によらず1、最後の $b$ は表の場合だけ1。従って $P(\vec a=(1,1,5),B)=6^{-3}/2=1/432$ で、 $$\displaystyle \boxed{P(\vec a=(1,1,5)\mid B)=\frac{1/432}{343/1728}=\frac4{343}}.$$

(4) 一回ごとに $$\displaystyle P(a_k=1\mid b_k=1)=\frac{1/6}{7/12}=\frac27,\qquad P(a_k=j\mid b_k=1)=\frac{(1/6)(1/2)}{7/12}=\frac17\quad(2\le j\le6).$$ $B$ のもとでも三回は独立である。和7の型と順列数は $(1,1,5):3,\ (1,2,4):6,\ (1,3,3):3,\ (2,2,3):3$。それぞれの条件付き重みを掛けて $$\displaystyle \boxed{P(a_1+a_2+a_3=7\mid B) =\frac{3\cdot4+6\cdot2+3\cdot2+3}{343} =\frac{33}{343}}.$$