3広島大学 2020年 数学 第3問解答・解説

(1) $f'(x)=e^{-2x^2}(1-4x^2)$。指数因子は常に正なので、導関数の符号は$1-4x^2$の符号で決まる。$\displaystyle x<-\frac12$と$\displaystyle x>\frac12$で負、$\displaystyle -\frac12<x<\frac12$で正だから、$\displaystyle x=-\frac12$で極小、$\displaystyle x=\frac12$で極大。値を代入するとそれぞれ$\displaystyle -\frac{1}{2\sqrt e},\;\frac{1}{2\sqrt e}$。

(2) 接線は $y=f'(t)(x-t)+f(t)$。$\displaystyle t=\pm\frac12$では水平で$f(t)\neq0$のため$A(a,0)$を通らない。それ以外では、Aを代入して $\displaystyle a=t-\frac{f(t)}{f'(t)}=\frac{4t^3}{4t^2-1}=h(t)$。微分すると $\displaystyle h'(t)=\frac{4t^2(4t^2-3)}{(4t^2-1)^2}$。$a>0$について、$h(t)<0$となる $\displaystyle t<-\frac12$ および $\displaystyle 0<t<\frac12$ に解はない。$\displaystyle -\frac12<t<0$ では $h(t)$ は正で単調減少し、端で $\infty$ から $0$ へ動くため解がちょうど1つ。$\displaystyle t>\frac12$ では、$h(t)$ は $\displaystyle \frac12$ の右から $\infty$ へ始まり、$\displaystyle t=\frac{\sqrt3}{2}$ まで減少、その後 $\infty$ へ増加する。最小値は$\displaystyle h(\frac{\sqrt3}{2})=\frac{3\sqrt3}{4}$。ゆえに正の区間の解の個数は、$\displaystyle a<\frac{3\sqrt3}{4}$なら0、等しければ1、$\displaystyle a>\frac{3\sqrt3}{4}$なら2。全体の異なる $t$ がちょうど2つなのは $\displaystyle a=\frac{3\sqrt3}{4}$ のときだけである。このとき接線条件は$\displaystyle 4t^3-3\sqrt3t^2+\frac{3\sqrt3}{4}=4(t-\frac{\sqrt3}{2})^2(t+\frac{\sqrt3}{4})=0$。したがって$\displaystyle p=-\frac{\sqrt3}{4},\ q=\frac{\sqrt3}{2}$。

(3) $0<x\leq q$では$f(x)>0$、かつ$f(0)=0$なので、面積は$\displaystyle \int_0^q xe^{-2x^2}\,dx=\left[-\frac{e^{-2x^2}}4\right]_0^{\sqrt3/2}=\frac{1-e^{-3/2}}4$。