1広島大学 2020年 数学 第1問解答・解説

(1) 余弦定理より、 $$AB^2=PA^2+PB^2-2(PA)(PB)\cos\theta=a^2+b^2-2ab\cos\theta.$$ 辺の長さは正なので、 $$AB=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\theta}.$$

(2) 三角形 $PAB$ の面積は $\displaystyle \frac12 ab\sin\theta$ である。また $AB=3AD$ より長方形の面積は $\displaystyle AB\cdot AD=\frac{AB^2}{3}$ である。したがって、 $$\displaystyle S=\frac12 ab\sin\theta+\frac{a^2+b^2-2ab\cos\theta}{3} =\frac{a^2+b^2}{3}+ab\left(\frac12\sin\theta-\frac23\cos\theta\right).$$

(3) $\displaystyle \cos\phi=\frac35,\;\sin\phi=-\frac45$ を満たす $\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\phi<0$ をとると、加法定理から $$\displaystyle \frac12\sin\theta-\frac23\cos\theta=\frac56\sin(\theta+\phi).$$ ここで $\displaystyle \theta+\phi=\frac{\pi}{2}$ となる $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}-\phi$ は $0<\theta<\pi$ を満たす。このとき $\sin(\theta+\phi)=1$ となり、正弦の値はこれを超えないから、これが $S$ の最大値を与える。よって $$\displaystyle M=\frac{a^2+b^2}{3}+\frac{5ab}{6}.$$ また $\displaystyle \beta=\frac{\pi}{2}-\phi$ なので $$\displaystyle \sin\beta=\cos\phi=\frac35,\qquad\cos\beta=\sin\phi=-\frac45.$$

(4) $a=16, b=25$、$\theta=\beta$ のとき、 $$\displaystyle AB=\sqrt{16^2+25^2-2\cdot16\cdot25\left(-\frac45\right)}=\sqrt{1521}=39.$$ 三角形の面積を $\displaystyle \frac12 AB\cdot h$ とおけば、 $$\displaystyle \frac12 AB\cdot h=\frac12 ab\sin\beta,\qquad h=\frac{ab\sin\beta}{AB}=\frac{16\cdot25\cdot\frac35}{39}=\frac{80}{13}.$$ 求める距離は $\displaystyle \frac{80}{13}$ である。