3東京大学 2021年 数学 第3問解答・解説

(1) f(x)=$\displaystyle \dfrac{x}{x^2+3}$ より $$\displaystyle f(1)=\frac14,\qquad f'(x)=\frac{3-x^2}{(x^2+3)^2},\qquad f'(1)=\frac18.$$ したがって A における接線は g(x)=$\displaystyle \frac14$+$\displaystyle \frac18$(x-1)=$\displaystyle \frac{x+1}{8}$ である。共有点の x 座標は $$\displaystyle \frac{x}{x^2+3}=\frac{x+1}{8}\quad\text{すなわち}\quad x^3+x^2-5x+3=0\quad\text{すなわち}\quad (x-1)^2(x+3)=0.$$ 分母 x^2+3 は常に正であり、解は x=1,-3 だけである。x=1 は A の座標なので、A と異なる共有点はただ1つで、その x 座標は -3 である。

(2) よって $\alpha=-3$。接線との差は $$\displaystyle f(x)-g(x)=\frac{8x-(x+1)(x^2+3)}{8(x^2+3)}=-\frac{(x-1)^2(x+3)}{8(x^2+3)}.$$ D=x^2+3 とおくと $$\displaystyle (f(x)-g(x))^2=\frac{x^2}{D^2}-\frac{x(x+1)}{4D}+\frac{(x+1)^2}{64}.$$ $$\displaystyle \frac{x^2}{D^2}=\frac{1}{2D}-\frac12\left(\frac{x}{D}\right)',\qquad \frac{x(x+1)}{D}=1-\frac{3}{D}+\frac{x}{D}$$ と、$\displaystyle \int\frac{dx}{x^2+3}=\frac1{\sqrt3}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$ および $\displaystyle \int\frac{x\,dx}{x^2+3}=\frac12\ln(x^2+3)$ を用いると、被積分関数の原始関数は $$\displaystyle F(x)=\frac{5\sqrt3}{12}\arctan\frac{x}{\sqrt3}-\frac{x}{2(x^2+3)}-\frac{x}{4}-\frac18\ln(x^2+3)+\frac{(x+1)^3}{192}$$ となる。よって $$\displaystyle \begin{aligned}\int_{-3}^{1}\{f(x)-g(x)\}^2\,dx&=F(1)-F(-3)\\&=\frac{5\sqrt3}{12}\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)+\frac18\ln3-\frac76\\&=\frac{5\sqrt3\pi}{24}+\frac{\ln3}{8}-\frac76.\end{aligned}$$