5東京大学 2021年 数学 第5問解答・解説

$A(-\alpha,-3),\quad P(\theta+\sin\theta,\cos\theta)$ 　$\quad\text{より}\quad$　 $f(\theta)=(\alpha+\theta+\sin\theta)^2+(3+\cos\theta)^2$. $$\displaystyle \begin{aligned} f'(\theta) &=2(\alpha+\theta+\sin\theta)(1+\cos\theta)-2(3+\cos\theta)\sin\theta\\ &=2\{(\alpha+\theta)(1+\cos\theta)-2\sin\theta\}\\ &=2(1+\cos\theta)\left\{\alpha+\theta-\frac{2\sin\theta}{1+\cos\theta}\right\}\\ &=2(1+\cos\theta)\{\alpha-g(\theta)\}, \qquad g(\theta)=2\tan\frac{\theta}{2}-\theta \quad(0<\theta<\pi). \end{aligned}$$ 半角の公式より $\displaystyle \frac{2\sin\theta}{1+\cos\theta}=2\tan\frac{\theta}{2}$ である。また $$\displaystyle g'(\theta)=\sec^2\frac{\theta}{2}-1=\tan^2\frac{\theta}{2}>0 \quad(0<\theta<\pi),\qquad \lim\limits _{\theta\to0+}g(\theta)=0,\quad \lim\limits _{\theta\to\pi-}g(\theta)=+\infty.$$ したがって任意の $\alpha>0$ に対し $g(\theta)=\alpha$ は $0<\theta<\pi$ にただ1つの解 $\theta_\alpha$ をもつ。これは $f^{\prime}(\theta)=0$ の唯一解である。 さらに $1+\cos\theta>0$ なので、$\theta<\theta_\alpha$ では $f^{\prime}(\theta)>0$、$\theta>\theta_\alpha$ では $f^{\prime}(\theta)<0$ となる。従って f は $0\le\theta\le\theta_\alpha$ で増加し $\theta_\alpha\le\theta\le\pi$ で減少し、最大値を $\theta_\alpha$ でとる。 よってその最大点が $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2$ にある条件は $$\displaystyle \theta_\alpha<\frac{\pi}{2} \ \quad\text{すなわち}\quad\ \alpha=g(\theta_\alpha)<g\left(\frac{\pi}{2}\right) =2\tan\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2} =2-\frac{\pi}{2}.$$ もともと $\alpha>0$ だから、求める範囲は $\displaystyle 0<\alpha<2-\frac\pi2$ である。