2東京大学 2021年 数学 第2問解答・解説

採用解説: MM-57714cdf39ef-Q2 結論　 (1)　 a=$\displaystyle \frac{i(\beta-\alpha)-(\gamma-\alpha)}{1+i}$,　 b=$\displaystyle \frac{\beta+\gamma-2\alpha}{1+i}$,　 c=$\alpha$.　　 (2)　 f(2) の範囲は，頂点 -1-i, -2i, 3-i, 4+i, 3+2i, i をこの順に結んだ閉六角形（内部を含む）.　 　 (1)　 f(0)=c=$\alpha$ であり， $$a+b=\beta-\alpha,\qquad -a+ib=\gamma-\alpha$$ を得る。この連立方程式を解くと $$\displaystyle a=\frac{i(\beta-\alpha)-(\gamma-\alpha)}{1+i},\qquad b=\frac{(\beta-\alpha)+(\gamma-\alpha)}{1+i} =\frac{\beta+\gamma-2\alpha}{1+i},\qquad c=\alpha.$$

(2)　 $\alpha$,$\beta$,$\gamma$ はいずれも実数で $1\leq\alpha,\beta,\gamma\leq2$ である。(1)より $$\begin{aligned} f(2)&=4a+2b+c\\ &=(-1-2i)\alpha+(3+i)\beta+(-1+i)\gamma. \end{aligned}$$ ここで $\alpha=1+s,\ \beta=1+t,\ \gamma=1+u$ とおけば，$0\leq s,t,u\leq1$ であり， $$f(2)=1+(-1-2i)s+(3+i)t+(-1+i)u.$$ この式は $(s,t,u)$ の一次式なので，その値域は$0\le s\le1$、$0\le t\le1$、$0\le u\le1$ で表される単位立方体 の8頂点での値を結んだ凸多角形の内部を含む領域である。8頂点での値は $$\begin{array}{c|c} (s,t,u)&f(2)\\ \hline (0,0,0)&1\\ (1,0,0)&-2i\\ (0,1,0)&4+i\\ (0,0,1)&i\\ (1,1,0)&3-i\\ (1,0,1)&-1-i\\ (0,1,1)&3+2i\\ (1,1,1)&2 \end{array}$$ である。これらを複素数平面に置くと，外周の頂点は $$-1-i,\quad -2i,\quad 3-i,\quad 4+i,\quad 3+2i,\quad i$$ の順となる。したがって求める範囲は，この順に頂点を結んだ閉六角形の内部を含む領域である。