3新潟大学 2019年 数学 第3問解答・解説

座標と4直線までの距離. $0<\theta<\pi$ とし、平行四辺形を $$A=(0,0),\quad B=(p,0),\quad D=(q\cos\theta,q\sin\theta),\quad C=(p+q\cos\theta,q\sin\theta)$$ とおく。$h=q\sin\theta$ とする。このとき $AB,CD$ はそれぞれ $y=0,h$ で、その距離は $h$。また $AD,BC$ は平行で、その距離は $p\sin\theta$ である。$p>q$ だから $$\displaystyle \min\left(\frac h2,\frac{p\sin\theta}{2}\right) =\frac{q\sin\theta}{2}.$$ 平行な2直線からの距離の和はその2直線間の距離なので、任意の内部点 $P=(x,y)$ について $$\displaystyle r(P)\leq \min\{y,h-y\}\leq \frac h2.$$ 従って $R\leq h/2$。

斜辺の直線は、単位法線 $(\sin\theta,-\cos\theta)$ を用いると $$AD:\ x\sin\theta-y\cos\theta=0,\qquad BC:\ x\sin\theta-y\cos\theta=p\sin\theta$$ と表せる。内部ではそれらへの距離は $$d(P,AD)=x\sin\theta-y\cos\theta,\qquad d(P,BC)=p\sin\theta-x\sin\theta+y\cos\theta.$$ $y=h/2=q\sin\theta/2$ とすると $$\displaystyle d(P,AD)=\sin\theta\left(x-\frac{q\cos\theta}{2}\right),\qquad d(P,BC)=\sin\theta\left(p+\frac{q\cos\theta}{2}-x\right).$$ これらが $h/2=q\sin\theta/2$ 以上である条件は $$\displaystyle \frac{q(1+\cos\theta)}2\leq x\leq p+\frac{q(\cos\theta-1)}2.$$ 区間の長さは $p-q>0$ なので、この範囲の点では4直線すべてまでの距離が $h/2$ 以上になり、$R=h/2$ が実現する。逆に $r(P)=h/2$ なら $y=h/2$ であり、さらに斜辺への距離がともに $h/2$ 以上でなければならない。よって上の区間が最大値を与える点をすべて表す。

(1) 従って $L$ は $$\displaystyle \boxed{\left\{(x,y): y=\frac{q\sin\theta}{2},\ \frac{q(1+\cos\theta)}2\leq x\leq p+\frac{q(\cos\theta-1)}2\right\}}$$ という、$AB$ に平行で長さ $p-q$ の線分である。図は $p=5,q=3,\theta=60^\circ$ の代表例で、赤い線分が $L$ を表す。

(2) 半径 $R$ の円の中心が長さ $p-q$ の線分上を動くとき、円と内部が通過する領域は、縦横 $2R$ と $p-q$ の長方形に、両端の半円（合わせて半径 $R$ の円1個分）を加えた形である。従って $$\displaystyle S=2R(p-q)+\pi R^2 =q(p-q)\sin\theta+\frac{\pi q^2\sin^2\theta}{4}.$$

(3) 平行四辺形の面積は $T=pq\sin\theta$ だから $$\displaystyle \frac ST =\frac{p-q}{p}+\frac{\pi q\sin\theta}{4p}.$$ $\theta\to+0$ のとき $\sin\theta\to0$ より $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{\theta\to+0}\frac ST=\frac{p-q}{p}=1-\frac qp}.$$