2新潟大学 2019年 数学 第2問解答・解説

(1) $Q(t)=(1+t)^{2n}-n(1+t)^{n+1}+n(1+t)^{n-1}-1$。二項定理で係数を調べると、定数項は $1-n+n-1=0$、$t$ の係数は $$2n-n(n+1)+n(n-1)=0,$$ $t^2$ の係数は $$\displaystyle \binom{2n}{2}-n\binom{n+1}{2}+n\binom{n-1}{2} =n(2n-1)-\frac{n^2(n+1)}2+\frac{n(n-1)(n-2)}2=0.$$ よって指定された3係数はいずれも0である。

(2) $t^3$ の係数は $$\displaystyle \begin{aligned} \binom{2n}{3}-n\binom{n+1}{3}+n\binom{n-1}{3} &=\frac{4n(n-1)(2n-1)-n^2(n^2-1)+n(n-1)(n-2)(n-3)}6\\ &=\frac{n(n^2-1)}3. \end{aligned}$$ $n\ge2$ なのでこれは0でない。したがって、ある多項式 $R(t)$ によって $$\displaystyle Q(t)=\frac{n(n^2-1)}3t^3+t^4R(t)$$ と書ける。$P(x)=Q(x-1)$ だから、$(x-1)^3$ では割り切れ、$(x-1)^4$ では割り切れない。

(3) $$\displaystyle P(x)=(x^2-1)T(x),\qquad T(x)=\sum\limits _{k=0}^{n-1}x^{2k}-nx^{n-1}.$$ 対称な項を組にすると $$\displaystyle T(x)=\sum\limits _{j=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}\left(x^j-x^{n-1-j}\right)^2.$$ （$n$ が奇数のとき、最後に現れる中央の項は0である。）よって$T(m)=0$ となる整数 $m$ では、特に $j=0$ の項が0となり $m^{n-1}=1$。したがって $m=1$、または $n-1$ が偶数のときの $m=-1$ である。よって $P(m)=0$ なら、因数 $x^2-1$ または $T(x)$ のどちらからも $m=1$ または $m=-1$ が従う。逆に $x^2-1$ より $P(1)=P(-1)=0$。以上から整数解は $1,-1$ のみである。