2筑波大学 2018年 数学 第2問解答・解説

(1) 傾き $m$ の直線 $y=mx$ と $C$ の交点の $x$ 座標は $$x^2+(a-m)x+b=0$$ の解である。接する条件は判別式が $0$ となることなので $$(a-p)^2=4b=(a-q)^2.$$ $p>0>q$ より $p\ne q$ だから $$(a-p)^2-(a-q)^2=(q-p)(2a-p-q)=0$$ から $2a=p+q$。これを $4b=(a-p)^2$ に代入すると $$\displaystyle a=\frac{p+q}{2},\qquad b=\frac{(p-q)^2}{16}.$$

(2) $d=p-q>0$ とおく。$\ell_1$ との接点の $x$ 座標は $d/4$、$\ell_2$ との接点の $x$ 座標は $-d/4$ である。また (1) より $$\displaystyle (x^2+ax+b)-px=\left(x-\frac d4\right)^2,\qquad (x^2+ax+b)-qx=\left(x+\frac d4\right)^2.$$ 囲まれた図形では、$-d/4\le x\le0$ の下側境界が $\ell_2$、$0\le x\le d/4$ の下側境界が $\ell_1$ なので $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_{-d/4}^{0}\left(x+\frac d4\right)^2\,dx +\int_{0}^{d/4}\left(x-\frac d4\right)^2\,dx\\ &=2\int_0^{d/4}u^2\,du =\frac{d^3}{96} =\frac{(p-q)^3}{96}. \end{aligned}$$

(3) 直交条件は $pq=-1$。$u=p>0$、$v=-q>0$ とおけば $uv=1$ であり $$(p-q)^2=(u+v)^2=(u-v)^2+4uv=(u-v)^2+4\ge4.$$ よって $p-q\ge2$ であり、(2) から $$\displaystyle S=\frac{(p-q)^3}{96}\ge\frac{2^3}{96}=\frac{1}{12}.$$ 等号は $u=v=1$、すなわち $p=1,\ q=-1$ のとき成立する。したがって最小値は $1/12$ である。